擲硬幣機率計算機

機率計算機（n、k、剛好／至少／至多）

這個擲硬幣機率計算機只要輸入擲的次數n和正面次數k，就能算出「剛好k次」「至少k次」「至多k次」正面的機率。例如n＝10、k＝5選「剛好」，會得到24.61%；n＝3、k＝1選「至少」，會得到至少1次正面的機率87.5%。計算根據二項分布，數字和頁面下方的機率表一致，拿來對作業答案或檢查自己的算式都很方便。

公式：二項分布

擲n次硬幣剛好出現k次正面的機率是C(n,k)÷2ⁿ。C(n,k)是從n次裡挑出k次正面的組合數，2ⁿ則是所有可能結果的總數。例如擲3次剛好2次正面，組合有3種、總共8種結果，所以是3÷8，也就是37.5%；擲10次剛好5次正面是252÷1,024，約24.61%。這個公式成立的前提是每次正面機率都是1/2，而且每一擲互不影響。

擲3次的8種結果

擲3次硬幣一共有8種結果，每一種出現的機率都是8分之1。依序是正正正、正正反、正反正、反正正、正反反、反正反、反反正、反反反。其中剛好2次正面的有3種，機率37.5%；3次都是正面只有1種，機率12.5%。至少出現1次正面的，就是反反反以外的7種，機率87.5%。這個小例子把二項分布的道理表現得很清楚。

擲10次的機率分布

擲10次硬幣時，最常出現的是5次正面，機率24.61%。4次和6次正面各是20.51%，3次和7次各11.72%，2次和8次各4.39%，整體以5次為中心左右對稱，像一座山。0次或10次正面的機率各只有0.10%。也就是說，擲10次剛好5比5的情況大約4次才有1次，出現6比4甚至7比3都很正常，不代表硬幣有問題。

連續出現的機率

指定的一面（例如正面）連續出現k次的機率，是把1/2連乘k次。連續2次是4分之1（25%），3次是8分之1（12.5%），5次是32分之1（3.13%），10次是1,024分之1（0.098%）。如果不指定哪一面，只要從第一擲開始同一面一直出現，機率就是兩倍：2次是2分之1，3次是4分之1，5次是16分之1，10次是512分之1。

擲100次會怎樣

擲100次硬幣，正面比例會接近50%，但剛好50次的機會並不大。剛好50次正面的機率是7.96%，45到55次是72.87%，40到60次是96.48%。擲得越多次，正面比例就越接近50%，這就是大數法則。不過收斂的是「比例」，正面和反面的「次數差」並不一定會縮小。想親自試試，可以用擲100次模擬工具一鍵擲完。

硬幣沒有記憶（獨立事件）

硬幣不會記得上一次的結果，所以不管已經連續出現幾次反面，下一次正面的機率仍是50%。連續5次反面之後，第6次正面還是1/2。覺得「接下來該輪到正面了」是很自然的直覺，但每一擲都是獨立事件，過去的結果不能用來預測下一次。長期來看比例會接近50%，並不是因為之前的偏差被補回來，而是新的結果不斷累積，把偏差稀釋了。

表A：擲n次剛好出現k次正面的機率

表B：同一面連續出現k次的機率

表C：擲100次的正常範圍

表D：100次中某處出現連續同一面的機率

表F：擲n次至少出現一次正面的機率