Yazı Tura Olasılığı Hesaplayıcı
n adil atışta tam k tura gelme olasılığı C(n,k) ÷ 2ⁿ formülüyle bulunur; örneğin 10 atışta tam 5 tura %24,6, üst üste 3 tura ise %12,5 olasılıklıdır.
Son güncelleme:
Hesaplayıcı (n, k, "tam / en az / en çok")
Yazı tura olasılığı hesaplayıcısı, n atışta k tura gelme ihtimalini anında verir. Atış sayısını (n) ve tura sayısını (k) gir, sonra "tam", "en az" ya da "en çok" seçeneklerinden birini işaretle. "Tam" yalnızca k turayı sayar; "en az" k ve daha fazlasını, "en çok" ise k ve daha azını toplar. Örneğin 3 atışta tam 2 tura %37,5, en az 1 tura %87,5 olasılıklıdır. 10 atışta en az bir tura gelme olasılığı ise %99,90'dır. Hesaplayıcı adil bir parayı ve birbirinden bağımsız atışları varsayar.
Formül (binom dağılımı)
n adil atışta tam k tura gelme olasılığı binom dağılımıyla, C(n,k) ÷ 2ⁿ formülüyle hesaplanır. 2ⁿ, n atışta çıkabilecek eşit olasılıklı dizilerin sayısıdır: 3 atışta 8, 10 atışta 1.024. C(n,k) ise bu dizilerden kaçında tam k tura bulunduğunu söyler ve "n'nin k'lı kombinasyonu" diye okunur. Örnek olarak T tura, Y yazı olsun: 3 atışta tam 2 tura veren 3 dizi vardır (TTY, TYT, YTT), yani 3 ÷ 8 = %37,5. 10 atışta tam 5 tura için C(10,5) = 252 olur ve 252 ÷ 1.024 yaklaşık %24,6 eder.
3 kez yazı tura: 8 sonucun hepsi
Bir parayı 3 kez attığında 8 eşit olasılıklı sonuç çıkabilir ve her birinin olasılığı 8'de 1'dir. T tura, Y yazı olmak üzere sonuçlar şunlardır: TTT, TTY, TYT, YTT, TYY, YTY, YYT ve YYY. Bu listeyi sayarak her şeyi bulabilirsin: tam 2 tura üç sonuçta vardır, yani %37,5; üçünün de tura olduğu tek sonuç TTT'dir, yani %12,5. En az bir tura gelme olasılığı %87,5'tir, çünkü yalnızca YYY sonucunda hiç tura yoktur. Aynı mantık 2 atışta da işler: 4 sonuçtan 3'ünde en az bir tura bulunur, bu da %75 eder.
10 atış tablosu
10 atış tablosu, adil bir parayı 10 kez attığında 0'dan 10'a kadar her tura sayısının olasılığını gösterir. En olası sonuç tam 5 turadır, ama olasılığı yalnızca %24,61'dir; yani dört denemeden üçünde 5 dışında bir sayı çıkar. 4 ya da 6 tura %20,51, 3 ya da 7 tura %11,72 olasılıklıdır. Uçlara gittikçe olasılık hızla düşer: 10 atışın hepsinin tura gelmesi 1.024'te 1, yani %0,098'dir. Tablodaki değerler C(10,k) ÷ 1.024 formülüyle hesaplanır ve toplamları %100 eder. Ödevde ya da sınıf deneyinde kendi sonuçlarını karşılaştırmak için kullanışlıdır.
Seriler: üst üste k kez
Belirli bir yüzün üst üste k kez gelme olasılığı (1/2)ᵏ'dir: 2 tura %25 (4'te 1), 3 tura %12,5 (8'de 1), 5 tura %3,13 (32'de 1), 10 tura ise %0,098 (1.024'te 1). Yüzü önceden seçmezsen ve ilk atış hangi yüzle gelirse onun tekrarını sayarsan olasılık iki katına çıkar: 2 atışta aynı yüz 2'de 1, 3 atışta 4'te 1, 5 atışta 16'da 1, 10 atışta 512'de 1. Bu ayrım önemlidir, çünkü biri "üst üste beş kez aynısı geldi" dediğinde genellikle hangi yüz olduğu baştan belirlenmemiştir.
100 atışta normal olan
100 atışta normal olan, 50'ye yakın ama çoğu zaman tam 50 olmayan bir tura sayısıdır. Tam 50 tura gelme olasılığı %7,96'dır. Sonucun 45 ile 55 tura arasında olma olasılığı %72,87, 40 ile 60 arasında olma olasılığı %96,48'dir. Tam 40 ya da tam 60 tura ise %1,08 ile nadirdir ama imkansız değildir. Seriler de sanıldığından uzundur: 100 atışın bir yerinde üst üste en az 6 kez aynı yüzün gelme olasılığı %80,7, en az 7 kez gelme olasılığı %54,2'dir. Yani 6 ya da 7'lik bir seri görmek şüpheli değil, olağan bir durumdur.
Paranın hafızası yoktur
Paranın hafızası yoktur: her atış öncekilerden bağımsızdır ve sıradaki atışta tura gelme olasılığı her zaman %50'dir. Üst üste 10 kez yazı gelse bile bir sonraki atışın ihtimali değişmez. "Bu kadar yazıdan sonra artık tura gelir" düşüncesi çok yaygın bir yanılgıdır; para geçmişte ne geldiğini bilmez ve aradaki farkı kapatmaya çalışmaz. Uzun vadede tura oranının %50'ye yaklaşması, eksiklerin telafi edilmesiyle değil, yeni atışların eski seriyi sulandırmasıyla olur. Üst üste 10 yazı, atışlar başlamadan önce 1.024'te 1 olasılıklıdır, ama gerçekleştikten sonra sıradaki atışa hiçbir etkisi yoktur.
Okul için: madeni para atma deneyi
Madeni para atma deneyi, olasılığı sınıfta somut olarak görmenin en kolay yoludur. Her öğrenci bir parayı 20 kez atar ve tura sayısını deftere yazar. Ardından bütün sonuçlar tahtada toplanır ve sınıfın genel tura oranı hesaplanır. Tek tek öğrencilerin oranları %50'den epey sapabilir; biri 7, biri 13 tura bulabilir. Sınıfın toplamı ise atış sayısı arttıkça %50'ye yaklaşır. Deneyin adil olması için para masada çevrilmemeli, havaya atılıp yakalanmalıdır. Sonuçları 10 atış tablosuyla ya da FlipACoin'in 100 kez atma aracıyla karşılaştırmak, ödevi güzel bir sonuç bölümüyle bitirmeni sağlar.
n atışta tam k tura
| Tura sayısı | 3 atış | 5 atış | 10 atış |
|---|---|---|---|
| 0 | %12,5 | %3,13 | %0,10 |
| 1 | %37,5 | %15,63 | %0,98 |
| 2 | %37,5 | %31,25 | %4,39 |
| 3 | %12,5 | %31,25 | %11,72 |
| 4 | %15,63 | %20,51 | |
| 5 | %3,13 | %24,61 | |
| 6 | %20,51 | ||
| 7 | %11,72 | ||
| 8 | %4,39 | ||
| 9 | %0,98 | ||
| 10 | %0,10 |
Üst üste k kez aynı yüz
| k | Belirli bir yüz (ör. tura) | Herhangi bir yüz, ilk atıştan itibaren |
|---|---|---|
| 2 | 4'te 1 (%25) | 2'de 1 |
| 3 | 8'de 1 (%12,5) | 4'te 1 |
| 5 | 32'de 1 (%3,13) | 16'da 1 |
| 10 | 1.024'te 1 (%0,098) | 512'de 1 |
| 15 | 32.768'de 1 | 16.384'te 1 |
| 20 | 1.048.576'da 1 | 524.288'de 1 |
100 atışta normal olan
| Sonuç | Olasılık |
|---|---|
| Tam 50 tura | %7,96 |
| 45 ile 55 arası tura | %72,87 |
| 40 ile 60 arası tura | %96,48 |
| Tam 40 (veya tam 60) tura | %1,08 |
100 atışın bir yerinde en uzun seri
| En az şu uzunlukta bir seri… | Olasılık |
|---|---|
| 5 | %97,2 |
| 6 | %80,7 |
| 7 | %54,2 |
| 8 | %31,5 |
| 10 | %8,7 |
n atışta en az bir tura
| 2 | %75 |
|---|---|
| 3 | %87,5 |
| 5 | %96,88 |
| 10 | %99,90 |
SSS
Üst üste 10 kez yazı gelirse sıradaki atışta tura gelme ihtimali artar mı?
Hayır, artmaz. Paranın hafızası yoktur: her atış bir öncekinden bağımsızdır ve üst üste 10 kez yazı geldikten sonra bile sıradaki atışta tura gelme olasılığı yine %50'dir. Uzun bir seriden sonra "artık sıra öbür yüzde" diye düşünmek yaygın bir düşünce hatasıdır. Üst üste 10 yazı, atışlar başlamadan önce bakıldığında 1.024'te 1 olasılıklıdır, ama gerçekleşen bir seri sonraki atışı etkilemez.
Üç kez üst üste tura gelme olasılığı nedir?
Üç kez üst üste tura gelme olasılığı 8'de 1, yani %12,5'tir. Her atış bağımsızdır ve tura gelme olasılığı 1/2'dir, bu yüzden üç tura ½ × ½ × ½ eder. Üç atışta tam 2 tura gelme olasılığı %37,5, en az bir tura gelme olasılığı ise %87,5'tir. Üst üste beş tura 32'de 1, on tura ise 1.024'te 1 olasılıklıdır.
100 kez yazı tura atınca ne olur?
Genellikle 50'ye yakın sayıda tura gelir, ama tam 50 nadiren çıkar. 100 atışta tam 50 tura gelme olasılığı yaklaşık %8'dir. 45 ile 55 arasında tura gelme olasılığı yaklaşık %73, 40 ile 60 arasında olma olasılığı ise yaklaşık %96'dır. Seriler de normaldir: 100 atışın bir yerinde üst üste en az yedi kez aynı yüzün gelme olasılığı %54'tür.