Kansberekening bij kop of munt
De kans op precies k keer kop in n eerlijke worpen is C(n,k) ÷ 2ⁿ; precies 5 keer kop in 10 worpen is bijvoorbeeld 24,6%, en 3 keer kop op rij 12,5%.
Laatst bijgewerkt:
Rekenmachine (n, k, „precies / minstens / hoogstens”)
Met de rekenmachine bereken je in een paar tellen de kans op k keer kop in n worpen. Je vult het aantal worpen n en het aantal keer kop k in, en kiest of je precies, minstens of hoogstens bedoelt. Een voorbeeld: bij 10 worpen is de kans op precies 5 keer kop 24,61%. Voor minstens één keer kop in 3 worpen geeft de rekenmachine 87,5%. Handig voor huiswerk over kansberekening, om je eigen uitslag te checken of als een reeks je vreemd lijkt. Achter de berekening zit de binomiale verdeling, die we hieronder uitleggen.
De formule (binomiale verdeling)
De kans op precies k keer kop in n eerlijke worpen is C(n,k) gedeeld door 2 tot de macht n. C(n,k) is de binomiaalcoëfficiënt, uitgesproken als „n boven k”. Die telt op hoeveel manieren je k keer kop over n worpen kunt verdelen. 2 tot de macht n is het totale aantal mogelijke uitkomsten. Voorbeeld met 3 worpen en precies 2 keer kop: er zijn 3 passende volgordes (KKM, KMK, MKK) van de 8, dus 3 gedeeld door 8 is 37,5%. De formule klopt omdat elke worp los staat van de vorige en kop en munt elk 50% kans hebben.
Drie keer gooien: alle 8 uitkomsten
Gooi je een munt drie keer op, dan zijn er 8 even waarschijnlijke uitkomsten, elk met 12,5% kans. Met K voor kop en M voor munt zijn dat: KKK, KKM, KMK, KMM, MKK, MKM, MMK en MMM. In een kansboom splitst elke tak zich drie keer in kop en munt, en elk pad heeft kans 1/2 keer 1/2 keer 1/2, dus 1/8. Daaruit lees je alles af. Drie keer kop is één pad: 12,5%. Precies twee keer kop zijn drie paden: 37,5%. Minstens één keer kop zijn alle paden behalve MMM: 7 van de 8, dus 87,5%.
Tabel voor 10 worpen
Bij 10 worpen is precies 5 keer kop de meest voorkomende uitslag, met 24,61%. Toch gebeurt het in ongeveer drie van de vier gevallen niet. 4 of 6 keer kop hebben elk 20,51%, 3 of 7 keer elk 11,72% en 2 of 8 keer elk 4,39%. Aan de randen wordt het zeldzaam: 1 of 9 keer kop elk 0,98%, nul of tien keer kop elk 0,10%. De tabel is symmetrisch, omdat kop en munt even waarschijnlijk zijn. Gooi je 7 keer kop in 10 worpen, dan is er dus niets bijzonders aan de hand. De volledige tabel voor 3, 5 en 10 worpen staat verderop.
Reeksen: k keer op rij
De kans op k keer achter elkaar dezelfde vaste kant is 1 op 2 tot de macht k. Twee keer kop op rij: 1 op 4 (25%). Drie keer: 1 op 8 (12,5%). Vijf keer: 1 op 32 (3,13%). Tien keer: 1 op 1.024 (0,098%). Maakt het niet uit welke kant de reeks vormt en tel je vanaf de eerste worp, dan wordt de kans twee keer zo groot, want de eerste worp bepaalt de kant: twee keer gelijk 1 op 2, drie keer 1 op 4, vijf keer 1 op 16, tien keer 1 op 512. Let bij een opgave dus goed op of er naar kop gevraagd wordt of naar dezelfde kant.
100 worpen: wat is normaal
Bij 100 worpen is een uitslag tussen 45 en 55 keer kop normaal: dat gebeurt in 72,87% van de gevallen. Precies 50 keer kop komt veel minder vaak voor dan je zou denken, namelijk in 7,96%. Tussen 40 en 60 keer kop valt 96,48% van alle rondes van 100 worpen. Precies 40 of precies 60 keer kop komt elk in 1,08% van de gevallen voor. Ook lange reeksen horen erbij: in 54,2% van de gevallen zit er ergens in de 100 worpen minstens 7 keer dezelfde kant op rij. Kom je niet precies op 50 tegen 50 uit, dan is dat geen fout, maar gewoon toeval.
Een munt heeft geen geheugen
Een munt onthoudt niets van eerdere worpen, dus elke nieuwe worp heeft weer 50% kans op kop. Na vijf keer munt is kop niet „aan de beurt”. Toch denken veel mensen dat het toeval zich op korte termijn moet rechttrekken. In werkelijkheid komt het aandeel kop pas over heel veel worpen dicht bij 50%, omdat nieuwe worpen de oude afwijking verdunnen, niet omdat de munt iets goedmaakt. Een reeks van zes of zeven keer dezelfde kant in 100 worpen is daarom heel gewoon. Bij FlipACoin wordt elke worp los van de vorige op de server bepaald, en je kunt hem op de pagina Controleren nagaan.
Precies k keer kop in n worpen
| Kop | 3 worpen | 5 worpen | 10 worpen |
|---|---|---|---|
| 0 | 12,5% | 3,13% | 0,10% |
| 1 | 37,5% | 15,63% | 0,98% |
| 2 | 37,5% | 31,25% | 4,39% |
| 3 | 12,5% | 31,25% | 11,72% |
| 4 | 15,63% | 20,51% | |
| 5 | 3,13% | 24,61% | |
| 6 | 20,51% | ||
| 7 | 11,72% | ||
| 8 | 4,39% | ||
| 9 | 0,98% | ||
| 10 | 0,10% |
k keer dezelfde kant op rij
| k | Vaste kant (bijv. kop) | Willekeurige kant, vanaf de eerste worp |
|---|---|---|
| 2 | 1 op 4 (25%) | 1 op 2 |
| 3 | 1 op 8 (12,5%) | 1 op 4 |
| 5 | 1 op 32 (3,13%) | 1 op 16 |
| 10 | 1 op 1.024 (0,098%) | 1 op 512 |
| 15 | 1 op 32.768 | 1 op 16.384 |
| 20 | 1 op 1.048.576 | 1 op 524.288 |
100 worpen: wat is normaal
| Uitslag | Kans |
|---|---|
| Precies 50 keer kop | 7,96% |
| 45 tot 55 keer kop | 72,87% |
| 40 tot 60 keer kop | 96,48% |
| Precies 40 (of precies 60) keer kop | 1,08% |
Langste reeks ergens in 100 worpen
| Een reeks van minstens… | Kans |
|---|---|
| 5 | 97,2% |
| 6 | 80,7% |
| 7 | 54,2% |
| 8 | 31,5% |
| 10 | 8,7% |
Minstens één keer kop in n worpen
| 2 | 75% |
|---|---|
| 3 | 87,5% |
| 5 | 96,88% |
| 10 | 99,90% |
FAQ
Hoe groot is de kans dat je 10 keer achter elkaar kop gooit?
De kans is 1 op 1.024, ongeveer 0,1%. Elke worp staat los van de vorige en heeft 1/2 kans op kop, dus tien keer kop is 1/2 tien keer met zichzelf vermenigvuldigd. Drie keer kop op rij is 1 op 8 (12,5%) en vijf keer 1 op 32. Gooi je drie keer, dan krijg je in 87,5% van de gevallen minstens één keer kop.
Wat gebeurt er als je 100 keer een munt opgooit?
Meestal kom je dicht bij 50 keer kop, maar zelden precies op 50. De kans op precies 50 keer kop in 100 worpen is ongeveer 8%. Tussen 45 en 55 keer kop gebeurt in ongeveer 73% van de gevallen, tussen 40 en 60 keer in ongeveer 96%. Reeksen zijn ook normaal: met 54% kans zie je ergens in 100 worpen zeven keer of vaker dezelfde kant op rij.