Калькулятор вероятности: орёл или решка
Вероятность получить ровно k орлов при n бросках честной монеты равна C(n,k) ÷ 2ⁿ; например, ровно 5 орлов из 10 бросков выпадают с вероятностью 24,6 %, а 3 орла подряд с вероятностью 12,5 %.
Последнее обновление:
Калькулятор (n, k, «ровно / не меньше / не больше»)
Калькулятор вероятности показывает, с каким шансом выпадет k орлов при n бросках честной монеты. Введите число бросков n, число орлов k и выберите условие: «ровно», «не меньше» или «не больше». Например, ровно 2 орла из 3 бросков выпадают с вероятностью 37,5 %, а хотя бы один орёл из 3 бросков с вероятностью 87,5 %. Для двух бросков шанс получить хотя бы одного орла равен 75 %, для десяти уже 99,90 %. Калькулятор считает по биномиальной формуле, поэтому результат точный, а не примерный. Для решки всё так же, просто поменяйте стороны местами.
Формула (биномиальное распределение)
Вероятность получить ровно k орлов при n бросках равна C(n,k) / 2ⁿ. Здесь 2ⁿ означает число всех возможных последовательностей орлов и решек, а C(n,k) показывает, сколько из них содержат ровно k орлов. Это биномиальное распределение, его разбирают в курсе теории вероятностей. Пример: при трёх бросках всего 2³ = 8 исходов, ровно два орла встречаются в трёх из них, значит вероятность равна 3/8, или 37,5 %. Для 100 бросков та же формула даёт 7,96 % для ровно 50 орлов. Формула работает, потому что броски независимы и каждый даёт орла с вероятностью 1/2.
Три броска: все 8 исходов
При трёх бросках монеты возможны 8 равновероятных исходов: ООО, ООР, ОРО, РОО, ОРР, РОР, РРО и РРР, где О означает орла, а Р решку. Каждый исход выпадает с вероятностью 1 из 8, то есть 12,5 %. Отсюда легко посчитать всё остальное. Три орла подряд есть только в одном исходе из восьми: 12,5 %. Ровно два орла встречаются в трёх исходах: 37,5 %. Хотя бы один орёл есть в семи исходах из восьми, а это 87,5 %. Такой перебор хорошо показывает, почему «два из трёх» случается заметно чаще, чем «три из трёх».
Таблица для 10 бросков
При 10 бросках чаще всего выпадает ровно 5 орлов, но даже этот самый вероятный исход случается только в 24,61 % случаев. 4 или 6 орлов выпадают с вероятностью 20,51 % каждый вариант, 3 или 7 орлов с вероятностью 11,72 %. Крайние варианты редки: ни одного орла, как и десять орлов из десяти, вы увидите примерно в 0,10 % случаев, то есть 1 раз из 1 024. Таблица ниже показывает все 11 вариантов от 0 до 10 орлов. Она пригодится, если вы бросили монетку десять раз и хотите понять, обычный ли у вас результат. Почти всегда он вполне обычный.
Серии: орёл k раз подряд
Вероятность, что орёл выпадет k раз подряд, равна (1/2)^k: два раза подряд 25 % (1 из 4), три раза 12,5 % (1 из 8), пять раз 3,13 % (1 из 32), десять раз 0,098 % (1 из 1 024). Это для заранее выбранной стороны. Если вам всё равно, какая сторона повторится, шанс вдвое выше: одна и та же сторона три раза подряд с первого броска выпадает с вероятностью 1 из 4, пять раз 1 из 16, десять раз 1 из 512. Поэтому длинные серии кажутся удивительными, хотя в долгой игре они встречаются регулярно.
100 бросков: что нормально
Если подбросить монетку 100 раз, нормальным считается результат от 40 до 60 орлов: так бывает в 96,48 % случаев. Чаще всего орлов будет от 45 до 55, это 72,87 % случаев. Ровно 50 орлов выпадает реже, чем многие думают: всего в 7,96 % случаев. Ровно 40 или ровно 60 орлов дают по 1,08 % каждый. Серии тоже нормальны. Почти всегда (97,2 %) где-то в сотне бросков будет серия из 5 одинаковых сторон, в 80,7 % случаев из 6, а в 54,2 % случаев из 7 и больше. Серия из 10 подряд встречается в 8,7 % случаев.
У монеты нет памяти
Монета не помнит прошлых бросков, поэтому после пяти решек подряд шанс орла на следующем броске всё равно 50 %. Ожидание, что после серии решек «пора бы выпасть орлу», является очень распространённой ошибкой восприятия. Каждый бросок независим: монета не знает, что было раньше, и не стремится «выровнять счёт». Равенство орлов и решек проявляется только на большом числе бросков, и то приблизительно. Серия из пяти решек выпадает с вероятностью 1 из 32, но шестой бросок от этого не меняется. Цифровая монетка FlipACoin устроена так же: сервер каждый раз вычисляет результат заново, не глядя на историю.
Ровно k орлов при n бросках
| Орлов | 3 броска | 5 бросков | 10 бросков |
|---|---|---|---|
| 0 | 12,5 % | 3,13 % | 0,10 % |
| 1 | 37,5 % | 15,63 % | 0,98 % |
| 2 | 37,5 % | 31,25 % | 4,39 % |
| 3 | 12,5 % | 31,25 % | 11,72 % |
| 4 | 15,63 % | 20,51 % | |
| 5 | 3,13 % | 24,61 % | |
| 6 | 20,51 % | ||
| 7 | 11,72 % | ||
| 8 | 4,39 % | ||
| 9 | 0,98 % | ||
| 10 | 0,10 % |
Одна сторона k раз подряд
| k | Заданная сторона (например, орёл) | Любая сторона, считая с первого броска |
|---|---|---|
| 2 | 1 из 4 (25 %) | 1 из 2 |
| 3 | 1 из 8 (12,5 %) | 1 из 4 |
| 5 | 1 из 32 (3,13 %) | 1 из 16 |
| 10 | 1 из 1 024 (0,098 %) | 1 из 512 |
| 15 | 1 из 32 768 | 1 из 16 384 |
| 20 | 1 из 1 048 576 | 1 из 524 288 |
100 бросков: что нормально
| Результат | Вероятность |
|---|---|
| Ровно 50 орлов | 7,96 % |
| От 45 до 55 орлов | 72,87 % |
| От 40 до 60 орлов | 96,48 % |
| Ровно 40 (или ровно 60) орлов | 1,08 % |
Самая длинная серия в 100 бросках
| Серия не короче… | Вероятность |
|---|---|
| 5 | 97,2 % |
| 6 | 80,7 % |
| 7 | 54,2 % |
| 8 | 31,5 % |
| 10 | 8,7 % |
Хотя бы один орёл при n бросках
| 2 | 75 % |
|---|---|
| 3 | 87,5 % |
| 5 | 96,88 % |
| 10 | 99,90 % |
FAQ
Какова вероятность, что орёл выпадет 3 раза подряд?
Она равна 1 из 8, то есть 12,5 %. Каждый бросок независим и даёт орла с вероятностью 1/2, поэтому вероятность трёх орлов подряд равна 1/2 × 1/2 × 1/2. Если бросить монетку 3 раза, ровно два орла выпадут с вероятностью 37,5 %, а хотя бы один орёл выпадет с вероятностью 87,5 %. Пять орлов подряд выпадают с шансом 1 из 32, а десять подряд с шансом 1 из 1 024.
Что будет, если подбросить монетку 100 раз?
Обычно орлов будет около 50, но ровно 50 выпадает редко. Вероятность получить ровно 50 орлов из 100 бросков составляет около 8 %. От 45 до 55 орлов выпадает примерно в 73 % случаев, от 40 до 60 орлов примерно в 96 %. Серии тоже нормальны: с вероятностью 54 % где-то в 100 бросках одна сторона выпадет семь или более раз подряд.