মুদ্রা নিক্ষেপের সম্ভাবনা ক্যালকুলেটর

ক্যালকুলেটর (n, k, "ঠিক / অন্তত / বড়জোর")

এই ক্যালকুলেটর বলে দেয় n বার মুদ্রা নিক্ষেপে k বার হেড আসার সম্ভাবনা কত। n ঘরে নিক্ষেপের সংখ্যা দিন, k ঘরে হেডের সংখ্যা, তারপর বেছে নিন ঠিক k, অন্তত k, নাকি বড়জোর k। উদাহরণ: 10 বার নিক্ষেপে ঠিক 5টি হেডের সম্ভাবনা 24.61%, আর অন্তত 1টি হেডের সম্ভাবনা 99.90%। বইয়ের অঙ্ক, যেমন "দুইটি মুদ্রা নিক্ষেপে বড়জোর একটি টেল আসার সম্ভাবনা কত", এখানে সঙ্গে সঙ্গে মিলিয়ে নেওয়া যায়: উত্তর 75%। ক্যালকুলেটর একটি নিরপেক্ষ মুদ্রা ধরে নেয়, যেখানে প্রতিটি নিক্ষেপ আগেরটি থেকে স্বাধীন।

সূত্র

n বার নিরপেক্ষ মুদ্রা নিক্ষেপে ঠিক k বার হেড আসার সম্ভাবনার সূত্র হলো P = C(n,k) ÷ 2ⁿ। এখানে 2ⁿ হলো নমুনা ক্ষেত্রের মোট ফলাফলের সংখ্যা, আর C(n,k) বলে তার মধ্যে কতগুলোতে ঠিক k টি হেড আছে, অর্থাৎ n থেকে k বেছে নেওয়ার উপায়। উদাহরণ: 3 বার নিক্ষেপে ঠিক 2টি হেডের জন্য C(3,2) = 3 আর 2³ = 8, তাই সম্ভাবনা 3/8, অর্থাৎ 37.5%। "অন্তত একটি হেড" বের করতে উল্টো দিক থেকে ভাবা সহজ: সব টেল আসার সম্ভাবনা বাদ দিন, অর্থাৎ 1 − (1/2)ⁿ, যা 10 বারে 99.90%।

দুইটি মুদ্রার নমুনা ক্ষেত্র

দুইটি মুদ্রা নিক্ষেপের নমুনা ক্ষেত্র হলো {HH, HT, TH, TT}, অর্থাৎ চারটি সমান সম্ভাব্য ফলাফল, যার প্রতিটির সম্ভাবনা 1/4 বা 25%। দুটিই হেড আসে শুধু HH এ, তাই 25%। ঠিক একটি হেড আছে HT ও TH এ, তাই 2/4 বা 50%। অন্তত একটি হেড আছে তিনটি ফলাফলে, তাই 75%। বড়জোর একটি টেলও 75%, কারণ শুধু TT শর্ত ভাঙে। আর বড়জোর দুইটি টেলের সম্ভাবনা 1, কারণ চারটি ফলাফলই শর্ত মানে। HT আর TH আলাদা ধরতে হয়, এই অঙ্কে সবচেয়ে বেশি ভুল হয় ঠিক এখানেই।

তিনটি মুদ্রা: 8টি ফল

তিনটি মুদ্রা নিক্ষেপে মোট 8টি সমান সম্ভাব্য ফল হয়: HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH ও TTT। প্রতিটির সম্ভাবনা 1/8, অর্থাৎ 12.5%। তিনটিই হেড আছে শুধু একটিতে, তাই সেটার সম্ভাবনা 12.5%। ঠিক দুইটি হেড আছে তিনটি ফলে, তাই 3/8 বা 37.5%, আর ঠিক একটি হেডও 37.5%। অন্তত একটি হেড আছে সাতটি ফলে, অর্থাৎ 87.5%। একটি মুদ্রা তিনবার নিক্ষেপ করলেও হিসাব একই থাকে, কারণ প্রতিটি নিক্ষেপ স্বাধীন। স্কুলের অঙ্কে "তিনটি মুদ্রা নিক্ষেপ" প্রশ্নগুলো এই তালিকা লিখে নিলেই সহজে মিলে যায়।

10 টসের চার্ট

10 বার টসে সবচেয়ে সম্ভাব্য ফল হলো ঠিক 5টি হেড, যার সম্ভাবনা 24.61%, মানে মোটামুটি প্রতি চারবারে একবার। 4 বা 6টি হেডের সম্ভাবনা 20.51% করে, 3 বা 7টির 11.72%, 2 বা 8টির 4.39%, 1 বা 9টির 0.98%, আর 0 বা 10টি হেডের মাত্র 0.10%। চার্টটা দেখতে ঘণ্টার মতো: মাঝখানে উঁচু, দুই পাশে নিচু। এর মানে খুব পরিষ্কার: 10 টসে 5 আর 5 আসতেই হবে এমন কোনো কথা নেই, 6 আর 4 বা 7 আর 3 আসাও একদম স্বাভাবিক ফল।

পরপর একই ফল

নির্দিষ্ট একটি পিঠ পরপর k বার আসার সম্ভাবনা (1/2)ᵏ: পরপর 2 বার হেড 25%, 3 বার 12.5%, 5 বার 3.13%, আর 10 বার 0.098%, মানে 1,024 বারে 1 বার। পিঠ আগে থেকে ঠিক করা না থাকলে, শুধু "যেকোনো পিঠ পরপর" চাইলে, প্রথম টস থেকে গুনলে সুযোগ দ্বিগুণ হয়ে যায়: 3 বার একই ফল 4 বারে 1 বার, 5 বার 16 বারে 1 বার, আর 10 বার 512 বারে 1 বার। মনে রাখবেন, মুদ্রার কোনো স্মৃতি নেই: পরপর পাঁচবার টেল এলেও পরের টসে হেডের সম্ভাবনা 50%ই থাকে।

100 টস

100 বার টস করলে হেড সাধারণত 45 থেকে 55 এর মধ্যে আসে, যার সম্ভাবনা 72.87%। ঠিক 50টি হেড আসে মাত্র 7.96% ক্ষেত্রে, তাই একদম সমান ভাগ আসলে বিরল। 40 থেকে 60টি হেডের সম্ভাবনা 96.48%, আর ঠিক 40 বা ঠিক 60 এর সম্ভাবনা 1.08% করে। লম্বা ধারাও স্বাভাবিক: 100 টসের কোথাও অন্তত 6 বার পরপর একই ফল আসার সম্ভাবনা 80.7%, আর অন্তত 7 বারের 54.2%। তাই 100 টসে 54টি হেড বা পরপর 7টি টেল দেখে মুদ্রাকে সন্দেহ করার কোনো কারণ নেই।

সারণি ক: n বার টসে ঠিক k বার হেড

সারণি খ: পরপর k বার একই পিঠ

সারণি গ: 100 টসে স্বাভাবিক কী

সারণি ঘ: 100 টসে সবচেয়ে লম্বা ধারা

সারণি চ: n বার টসে অন্তত একটি হেড