Calcolo della Probabilità a Testa o Croce
La probabilità di ottenere esattamente k teste in n lanci di una moneta equa è C(n,k) ÷ 2ⁿ: per esempio, 5 teste su 10 lanci hanno il 24,6% e 3 teste di fila il 12,5%.
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Calcolatore (n, k, "esattamente / almeno / al massimo")
Il calcolatore ti dice la probabilità di ottenere un certo numero di teste in qualsiasi numero di lanci. Inserisci n, i lanci totali, e k, le teste, poi scegli "esattamente", "almeno" o "al massimo". Qualche esempio: esattamente 5 teste su 10 lanci fa 24,61%; almeno una testa su 3 lanci fa 87,5%; almeno una testa su 10 lanci fa 99,90%. È utile per i compiti di matematica, per controllare un'intuizione o per capire se quella serie strana era davvero così strana. Il calcolo della probabilità a testa o croce, senza fare conti a mano.
La formula (binomiale)
La probabilità di ottenere esattamente k teste in n lanci è C(n,k) ÷ 2ⁿ, la formula binomiale per una moneta equa. 2ⁿ è il numero di esiti possibili, tutti ugualmente probabili. C(n,k), il coefficiente binomiale, conta in quanti modi si possono scegliere i lanci in cui escono le k teste. Esempio con 3 lanci: gli esiti sono 2³ = 8 e 3 di questi hanno esattamente due teste, quindi la probabilità è 3 ÷ 8 = 37,5%. Per "almeno" o "al massimo" basta sommare i valori di tutti i k dell'intervallo.
Lanciare una moneta 3 volte: tutti gli 8 esiti
Lanciando una moneta 3 volte ci sono 8 esiti possibili, ognuno con probabilità del 12,5%. Indicando testa con T e croce con C: TTT, TTC, TCT, CTT, TCC, CTC, CCT, CCC. Un esito ha tre teste, tre ne hanno esattamente due, tre ne hanno una sola e uno non ne ha nessuna. Da qui le probabilità: esattamente due teste 37,5% (3 su 8), tre teste 12,5% (1 su 8), almeno una testa 87,5%, perché solo CCC ne è privo. Con 2 lanci, la probabilità di almeno una testa scende al 75%.
Tabella per 10 lanci
Su 10 lanci il risultato più probabile è esattamente 5 teste, con il 24,61%. Subito dopo vengono 4 e 6 teste, con il 20,51% ciascuno, poi 3 e 7 teste con l'11,72%, 2 e 8 con il 4,39%, 1 e 9 con lo 0,98%. Zero teste o dieci teste hanno lo 0,10% ciascuno, circa una volta su mille. La tabella è simmetrica perché testa e croce hanno la stessa probabilità. Nota che anche il risultato più probabile, 5 a 5, capita meno di una volta su quattro: uno sbilanciamento come 6 a 4 è normalissimo.
Serie: k volte di fila
La probabilità di fare testa k volte di fila è 1/2 moltiplicato per sé stesso k volte. Due teste di fila: 25%, cioè 1 su 4. Tre di fila: 12,5%, 1 su 8. Cinque di fila: 3,13%, 1 su 32. Dieci di fila: 0,098%, 1 su 1.024. Questi numeri valgono per una faccia scelta in anticipo, per esempio testa. Se invece va bene qualsiasi faccia ripetuta a partire dal primo lancio, la probabilità raddoppia: 1 su 2 per due uguali, 1 su 4 per tre, 1 su 16 per cinque e 1 su 512 per dieci.
100 lanci: cosa è normale
Su 100 lanci è normale avvicinarsi a 50 teste, ma è raro fare esattamente 50. La probabilità di esattamente 50 teste è il 7,96%. Stare tra 45 e 55 teste succede nel 72,87% dei casi, tra 40 e 60 nel 96,48%. Esattamente 40, oppure esattamente 60, ha l'1,08% ciascuno: raro ma possibile. Anche le serie lunghe fanno parte del gioco: in 100 lanci la probabilità di vedere almeno 6 facce uguali di fila è l'80,7%, almeno 7 il 54,2%. Se capita, la moneta non ha niente che non va.
La moneta non ha memoria
La moneta non ha memoria: il risultato precedente non cambia in nulla il lancio successivo. Dopo cinque croci di fila, la probabilità che esca testa al sesto lancio resta il 50%. Pensare che "adesso deve uscire testa" è un errore di intuizione molto diffuso. Ciò che è raro è l'intera serie vista dall'inizio: cinque croci di fila hanno il 3,13%. Ma quando quattro croci sono già uscite, manca un solo lancio, ed è 50 e 50 come tutti gli altri. Ogni lancio riparte da zero, che sia con una moneta da un euro o su FlipACoin.
Esattamente k teste in n lanci
| Teste | 3 lanci | 5 lanci | 10 lanci |
|---|---|---|---|
| 0 | 12,5% | 3,13% | 0,10% |
| 1 | 37,5% | 15,63% | 0,98% |
| 2 | 37,5% | 31,25% | 4,39% |
| 3 | 12,5% | 31,25% | 11,72% |
| 4 | 15,63% | 20,51% | |
| 5 | 3,13% | 24,61% | |
| 6 | 20,51% | ||
| 7 | 11,72% | ||
| 8 | 4,39% | ||
| 9 | 0,98% | ||
| 10 | 0,10% |
La stessa faccia k volte di fila
| k | Faccia precisa (es. testa) | Qualsiasi faccia, contando dal primo lancio |
|---|---|---|
| 2 | 1 su 4 (25%) | 1 su 2 |
| 3 | 1 su 8 (12,5%) | 1 su 4 |
| 5 | 1 su 32 (3,13%) | 1 su 16 |
| 10 | 1 su 1.024 (0,098%) | 1 su 512 |
| 15 | 1 su 32.768 | 1 su 16.384 |
| 20 | 1 su 1.048.576 | 1 su 524.288 |
100 lanci: cosa è normale
| Risultato | Probabilità |
|---|---|
| Esattamente 50 teste | 7,96% |
| Da 45 a 55 teste | 72,87% |
| Da 40 a 60 teste | 96,48% |
| Esattamente 40 (o esattamente 60) teste | 1,08% |
Serie più lunga in 100 lanci
| Una serie di almeno… | Probabilità |
|---|---|
| 5 | 97,2% |
| 6 | 80,7% |
| 7 | 54,2% |
| 8 | 31,5% |
| 10 | 8,7% |
Almeno una testa in n lanci
| 2 | 75% |
|---|---|
| 3 | 87,5% |
| 5 | 96,88% |
| 10 | 99,90% |
Domande frequenti
Qual è la probabilità di fare testa 3 volte di fila?
È 1 su 8, cioè il 12,5%. Ogni lancio è indipendente e ha probabilità 1/2, quindi tre teste di fila valgono 1/2 × 1/2 × 1/2. Lanciando una moneta 3 volte, la probabilità di esattamente 2 teste è il 37,5% e quella di almeno una testa l'87,5%. Cinque teste di fila sono 1 su 32, dieci di fila 1 su 1.024.
Cosa succede se lanci una moneta 100 volte?
Di solito ottieni un numero di teste vicino a 50, ma raramente esattamente 50. La probabilità di avere esattamente 50 teste su 100 lanci è circa l'8%. Quella di avere tra 45 e 55 teste è circa il 73%, tra 40 e 60 circa il 96%. Anche le serie sono normali: c'è il 54% di probabilità di vedere sette o più facce uguali di fila da qualche parte in 100 lanci.