Калькулятор імовірності: орел чи решка
Імовірність отримати рівно k орлів за n кидків чесної монети дорівнює C(n,k) ÷ 2ⁿ; наприклад, рівно 5 орлів з 10 кидків випадають з імовірністю 24,6 %, а 3 орли поспіль з імовірністю 12,5 %.
Останнє оновлення:
Калькулятор (n, k, «рівно / щонайменше / щонайбільше»)
Калькулятор імовірності показує, з яким шансом випаде k орлів за n кидків чесної монети. Введіть кількість кидків n, кількість орлів k і оберіть умову: «рівно», «щонайменше» або «щонайбільше». Наприклад, рівно 2 орли з 3 кидків випадають з імовірністю 37,5 %, а щонайменше один орел із 3 кидків з імовірністю 87,5 %. За двох кидків шанс отримати хоча б одного орла дорівнює 75 %, за десяти вже 99,90 %. Калькулятор рахує за біноміальною формулою, тому результат точний, а не приблизний. Для решки все так само, просто поміняйте боки місцями.
Формула (біноміальний розподіл)
Імовірність отримати рівно k орлів за n кидків дорівнює C(n,k) / 2ⁿ. Тут 2ⁿ означає кількість усіх можливих послідовностей орлів і решок, а C(n,k) показує, скільки з них містять рівно k орлів. Це біноміальний розподіл, його вивчають у курсі теорії ймовірностей. Приклад: за трьох кидків маємо 2³ = 8 результатів, рівно два орли трапляються у трьох із них, отже ймовірність дорівнює 3/8, тобто 37,5 %. Для 100 кидків та сама формула дає 7,96 % для рівно 50 орлів. Формула працює, бо кидки незалежні, а кожен дає орла з імовірністю 1/2.
Три кидки: усі 8 результатів
За трьох кидків монети можливі 8 однаково ймовірних результатів: ООО, ООР, ОРО, РОО, ОРР, РОР, РРО і РРР, де О означає орла, а Р решку. Кожен із них має ймовірність 1 з 8, тобто 12,5 %. Звідси легко порахувати решту. Три орли поспіль є лише в одному результаті з восьми: 12,5 %. Рівно два орли трапляються у трьох результатах: 37,5 %. Хоча б один орел є в семи результатах із восьми, а це 87,5 %. Такий перелік добре показує, чому «два з трьох» буває значно частіше, ніж «три з трьох».
Таблиця для 10 кидків
За 10 кидків найчастіше випадає рівно 5 орлів, але навіть цей найімовірніший результат трапляється лише у 24,61 % випадків. 4 або 6 орлів випадають з імовірністю 20,51 % кожен варіант, 3 або 7 орлів з імовірністю 11,72 %. Крайні варіанти рідкісні: жодного орла, як і десять орлів із десяти, ви побачите приблизно у 0,10 % випадків, тобто 1 раз з 1 024. Таблиця нижче показує всі 11 варіантів від 0 до 10 орлів. Вона знадобиться, якщо ви підкинули монетку десять разів і хочете зрозуміти, чи звичайний у вас результат. Майже завжди він цілком звичайний.
Серії: k разів поспіль
Імовірність, що орел випаде k разів поспіль, дорівнює (1/2)^k: двічі поспіль 25 % (1 з 4), тричі 12,5 % (1 з 8), п'ять разів 3,13 % (1 з 32), десять разів 0,098 % (1 з 1 024). Це для наперед обраного боку. Якщо вам байдуже, який бік повториться, шанс удвічі вищий: той самий бік тричі поспіль від першого кидка випадає з імовірністю 1 з 4, п'ять разів 1 з 16, десять разів 1 з 512. Тому довгі серії здаються дивовижними, хоча за тривалої гри вони трапляються регулярно.
100 кидків: що нормально
Якщо підкинути монетку 100 разів, нормальним вважається результат від 40 до 60 орлів: так буває у 96,48 % випадків. Найчастіше орлів буде від 45 до 55, це 72,87 % випадків. Рівно 50 орлів випадає рідше, ніж багато хто думає: лише у 7,96 % випадків. Рівно 40 або рівно 60 орлів мають по 1,08 % кожен. Серії теж нормальні. Майже завжди (97,2 %) десь у сотні кидків буде серія з 5 однакових боків, у 80,7 % випадків із 6, а у 54,2 % випадків із 7 і більше. Серія з 10 поспіль трапляється у 8,7 % випадків.
Монета не має пам'яті
Монета не пам'ятає попередніх кидків, тому після п'яти решок поспіль шанс орла на наступному кидку однаково 50 %. Очікування, що після серії решок «вже має випасти орел», є дуже поширеною помилкою сприйняття. Кожен кидок незалежний: монета не знає, що було раніше, і не намагається «вирівняти рахунок». Рівновага орлів і решок проявляється лише на великій кількості кидків, і то приблизно. Серія з п'яти решок випадає з імовірністю 1 з 32, але шостий кидок від цього не змінюється. Цифрова монетка FlipACoin працює так само: сервер щоразу обчислює результат наново, не зважаючи на історію.
Рівно k орлів за n кидків
| Орлів | 3 кидки | 5 кидків | 10 кидків |
|---|---|---|---|
| 0 | 12,5 % | 3,13 % | 0,10 % |
| 1 | 37,5 % | 15,63 % | 0,98 % |
| 2 | 37,5 % | 31,25 % | 4,39 % |
| 3 | 12,5 % | 31,25 % | 11,72 % |
| 4 | 15,63 % | 20,51 % | |
| 5 | 3,13 % | 24,61 % | |
| 6 | 20,51 % | ||
| 7 | 11,72 % | ||
| 8 | 4,39 % | ||
| 9 | 0,98 % | ||
| 10 | 0,10 % |
Один бік k разів поспіль
| k | Заданий бік (наприклад, орел) | Будь-який бік, рахуючи з першого кидка |
|---|---|---|
| 2 | 1 до 4 (25 %) | 1 до 2 |
| 3 | 1 до 8 (12,5 %) | 1 до 4 |
| 5 | 1 до 32 (3,13 %) | 1 до 16 |
| 10 | 1 до 1 024 (0,098 %) | 1 до 512 |
| 15 | 1 до 32 768 | 1 до 16 384 |
| 20 | 1 до 1 048 576 | 1 до 524 288 |
100 кидків: що нормально
| Результат | Імовірність |
|---|---|
| Рівно 50 орлів | 7,96 % |
| Від 45 до 55 орлів | 72,87 % |
| Від 40 до 60 орлів | 96,48 % |
| Рівно 40 (або рівно 60) орлів | 1,08 % |
Найдовша серія у 100 кидках
| Серія щонайменше… | Імовірність |
|---|---|
| 5 | 97,2 % |
| 6 | 80,7 % |
| 7 | 54,2 % |
| 8 | 31,5 % |
| 10 | 8,7 % |
Хоча б один орел за n кидків
| 2 | 75 % |
|---|---|
| 3 | 87,5 % |
| 5 | 96,88 % |
| 10 | 99,90 % |
FAQ
Яка ймовірність, що орел випаде 3 рази поспіль?
Вона становить 1 до 8, тобто 12,5 %. Кожен кидок незалежний і дає орла з імовірністю 1/2, тому ймовірність трьох орлів поспіль дорівнює 1/2 × 1/2 × 1/2. Якщо підкинути монетку 3 рази, рівно два орли випадуть з імовірністю 37,5 %, а хоча б один орел випаде з імовірністю 87,5 %. П'ять орлів поспіль випадають із шансом 1 до 32, а десять поспіль із шансом 1 до 1 024.
Що буде, якщо підкинути монетку 100 разів?
Зазвичай орлів буде близько 50, але рівно 50 випадає рідко. Імовірність отримати рівно 50 орлів зі 100 кидків становить близько 8 %. Від 45 до 55 орлів випадає приблизно у 73 % випадків, від 40 до 60 орлів приблизно у 96 %. Серії теж нормальні: з імовірністю 54 % десь у 100 кидках один бік випаде сім або більше разів поспіль.