擲硬幣機率真的是50%嗎？

結論：正反面各50%

公平硬幣擲出正面和反面的機率各是50%。2023年一項錄影記錄350,757次真實擲硬幣的研究也發現，正面整體比例是50.0%，正反面之間沒有差別。唯一的小偏差是「起始朝上的那面」：手擲的硬幣有50.8%會落回同一面。換句話說，偏差和正面反面無關，而是和擲之前哪面朝上有關。只要蓋住起始面，擲硬幣就可以當作五五波。

起始面效應：50.8%（Bartoš等 2023）

手擲的硬幣有50.8%的機率落在起始朝上的那一面，這就是「起始面效應」。Bartoš等人在2023年錄影記錄了350,757次真實的擲硬幣（arXiv:2310.04153），95%信賴區間是50.6%到50.9%，代表這個差距不太可能只是巧合。不過正面和反面本身的比例仍是50.0%，沒有哪一面比較容易出現。每一擲的差距非常小，日常丟銅板時幾乎感覺不到。

原因：硬幣的擺動（Diaconis等 2007）

起始面效應的原因，是硬幣在空中翻轉時會輕微擺動。2007年，Diaconis、Holmes和Montgomery在《SIAM Review》發表了一個物理模型：硬幣不是乾淨俐落地翻面，而是像陀螺一樣，轉軸會微微晃動。這讓起始朝上那面朝上的時間稍微長一點，因此預測被接住的硬幣約有51%會落在同一面。這是模型的預測，不是實測，直到2023年的大型實驗才量到50.8%。

正面比較容易出現嗎？

不會，正面和反面一樣容易出現。在350,757次手擲的實驗中，正面比例是50.0%，正反面沒有偏差。真正有影響的是擲之前哪一面朝上：如果每次都正面朝上開始擲，正面會稍微多一點；反面朝上開始，反面就稍微多一點。所以「正面比較容易」的說法並不成立。只要沒有人看到起始面，正面和反面的機率就完全一樣。線上擲硬幣更沒有起始面的問題，正反面的機率始終各50%。

加重的硬幣會偏嗎？（Gelman & Nolan 2002）

如果是擲到空中再用手接住，就算硬幣一邊加重，也幾乎不會影響結果。統計學家Gelman和Nolan在2002年的《The American Statistician》指出，被接住的擲硬幣無法有意義地做成偏向某一面。原因是硬幣在空中只是繞著重心翻轉，重量分布決定不了哪一面朝上。但如果是在桌上轉硬幣，情況就不同了，重量和邊緣形狀的差異很容易反映在結果上。

轉硬幣和擲硬幣不一樣

在桌上轉硬幣比擲到空中更容易出現偏差，想公平決定事情時最好別用。轉動的硬幣慢慢停下、倒向一邊時，邊緣形狀或重量的些微差異都會影響哪一面朝上。英文維基百科的「Coin flipping」條目也提到，轉硬幣比擲硬幣更容易偏。所以擲硬幣技巧的重點很簡單：用拇指往上彈，讓硬幣在空中翻很多圈，再接住或讓它落在平面上。

線上擲硬幣為什麼沒有物理偏差

線上擲硬幣沒有手勁、起始面或硬幣形狀這些物理因素，所以不會有手擲時的偏差。在FlipACoin，每次結果由伺服器產生；擲之前先公布HMAC SHA256雜湊值，擲完再公開種子，任何人都能在「驗證」頁面比對，確認結果沒有被事後更改。全球擲幣還會混入公開的drand隨機信標。結果公平，而且每一擲都能自己驗證。

研究發現