Probabilidade de Cara ou Coroa
A probabilidade de exatamente k caras em n lançamentos de uma moeda justa é C(n,k) ÷ 2ⁿ; por exemplo, exatamente 5 caras em 10 lançamentos é 24,61%, e 3 caras seguidas é 12,5%.
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Calculadora (n, k, "exatamente / pelo menos / no máximo")
A calculadora mostra a probabilidade de sair um certo número de caras em qualquer quantidade de lançamentos. Você informa n, o total de lançamentos, e k, o número de caras, e escolhe entre "exatamente", "pelo menos" ou "no máximo". Alguns exemplos: exatamente 5 caras em 10 lançamentos dá 24,61%; pelo menos uma cara em 3 lançamentos dá 87,5%; pelo menos uma cara em 10 lançamentos dá 99,90%. Serve para tirar dúvida de lição de matemática, conferir um palpite ou matar a curiosidade depois de uma sequência que pareceu estranha demais.
A fórmula (binomial)
A probabilidade de exatamente k caras em n lançamentos é C(n,k) ÷ 2ⁿ, a fórmula da distribuição binomial para uma moeda justa. O 2ⁿ é o número de resultados possíveis, todos com a mesma chance. O C(n,k) conta de quantas maneiras dá para escolher em quais lançamentos as k caras aparecem. Exemplo com 3 lançamentos: há 2³ = 8 resultados, e 3 deles têm exatamente duas caras, então a chance é 3 ÷ 8 = 37,5%. Para "pelo menos" ou "no máximo", basta somar os valores de todos os k da faixa.
Lançar uma moeda 3 vezes: os 8 resultados
Ao lançar uma moeda 3 vezes, existem 8 resultados possíveis, cada um com 12,5% de chance. Eles se dividem assim: 1 com três caras, 3 com exatamente duas caras, 3 com exatamente uma cara e 1 só com coroas. Por isso, a chance de exatamente duas caras é 37,5% (3 em 8), a de três caras é 12,5% (1 em 8) e a de pelo menos uma cara é 87,5%, porque só um dos oito resultados não tem nenhuma. Com 2 lançamentos, a chance de pelo menos uma cara cai para 75%.
Qual a chance de cair cara várias vezes seguidas (2 a 10)
A chance de cair cara várias vezes seguidas é 1/2 multiplicado por ele mesmo a cada lançamento. Duas caras seguidas: 25%, ou 1 em 4. Três seguidas: 12,5%, 1 em 8. Cinco seguidas: 3,13%, 1 em 32. Dez seguidas: 0,098%, 1 em 1.024. Esses números valem para um lado escolhido antes, como cara. Se vale qualquer lado repetido a partir do primeiro lançamento, a chance dobra: 1 em 2 para duas iguais, 1 em 4 para três, 1 em 16 para cinco e 1 em 512 para dez. Ou seja, dez caras seguidas é raro, mas acontece.
100 lançamentos: o que é normal
Em 100 lançamentos, o normal é ficar perto de 50 caras, mas quase nunca exatamente 50. A chance de exatamente 50 caras é 7,96%. Ficar entre 45 e 55 caras acontece 72,87% das vezes, e entre 40 e 60, 96,48%. Exatamente 40 ou exatamente 60 caras têm 1,08% de chance cada: raro, mas possível. Sequências longas também fazem parte: em 100 lançamentos, a chance de aparecer uma sequência de pelo menos 6 resultados iguais é 80,7%, e de pelo menos 7, 54,2%. Se aparecer, não é defeito da moeda.
A moeda não tem memória
A moeda não tem memória: o resultado anterior não muda em nada o próximo lançamento. Depois de cinco coroas seguidas, a chance de dar cara na sexta jogada continua sendo 50%. Achar que "agora tem que sair cara" é um erro de intuição muito comum. O que é raro é a sequência inteira vista de antes: cinco coroas seguidas têm 3,13% de chance. Mas, depois que quatro coroas já saíram, só falta um lançamento, e ele é 50/50 como qualquer outro. Cada jogada começa do zero, seja com uma moeda de um real, seja no FlipACoin.
Exatamente k caras em n lançamentos
| Caras | 3 lançamentos | 5 lançamentos | 10 lançamentos |
|---|---|---|---|
| 0 | 12,5% | 3,13% | 0,10% |
| 1 | 37,5% | 15,63% | 0,98% |
| 2 | 37,5% | 31,25% | 4,39% |
| 3 | 12,5% | 31,25% | 11,72% |
| 4 | 15,63% | 20,51% | |
| 5 | 3,13% | 24,61% | |
| 6 | 20,51% | ||
| 7 | 11,72% | ||
| 8 | 4,39% | ||
| 9 | 0,98% | ||
| 10 | 0,10% |
Mesmo lado k vezes seguidas
| k | Um lado específico (ex.: cara) | Qualquer lado, contando a partir do 1º lançamento |
|---|---|---|
| 2 | 1 em 4 (25%) | 1 em 2 |
| 3 | 1 em 8 (12,5%) | 1 em 4 |
| 5 | 1 em 32 (3,13%) | 1 em 16 |
| 10 | 1 em 1.024 (0,098%) | 1 em 512 |
| 15 | 1 em 32.768 | 1 em 16.384 |
| 20 | 1 em 1.048.576 | 1 em 524.288 |
100 lançamentos: o que é normal
| Resultado | Chance |
|---|---|
| Exatamente 50 caras | 7,96% |
| De 45 a 55 caras | 72,87% |
| De 40 a 60 caras | 96,48% |
| Exatamente 40 (ou exatamente 60) caras | 1,08% |
Maior sequência em algum ponto de 100 lançamentos
| Uma sequência de pelo menos… | Chance |
|---|---|
| 5 | 97,2% |
| 6 | 80,7% |
| 7 | 54,2% |
| 8 | 31,5% |
| 10 | 8,7% |
Pelo menos uma cara em n lançamentos
| 2 | 75% |
|---|---|
| 3 | 87,5% |
| 5 | 96,88% |
| 10 | 99,90% |
FAQ
Qual a chance de cair cara 3 vezes seguidas?
É de 1 em 8, ou 12,5%. Cada lançamento é independente e tem chance de 1/2, então três caras seguidas valem 1/2 × 1/2 × 1/2. Em três lançamentos, a chance de exatamente duas caras é 37,5% e a de pelo menos uma cara é 87,5%. Cinco caras seguidas é 1 em 32, e dez seguidas é 1 em 1.024.
Qual a probabilidade de cair cara ou coroa?
Em uma moeda justa, a probabilidade é de 50% para cara e 50% para coroa em cada lançamento. A moeda não tem memória: depois de três coroas, o próximo lançamento ainda tem 50% de chance de dar cara. No maior experimento já feito, com 350.757 lançamentos à mão, cara saiu 50,0% das vezes, sem preferência por nenhum lado.
O que acontece se você jogar uma moeda 100 vezes?
Em geral você chega perto de 50 caras, mas raramente exatamente 50. A chance de exatamente 50 caras em 100 lançamentos é de cerca de 8%. De 45 a 55 caras, cerca de 73%, e de 40 a 60 caras, cerca de 96%. Sequências também são normais: há 54% de chance de ver sete ou mais resultados iguais seguidos em algum ponto dos 100 lançamentos.