حاسبة احتمال رمي قطعة نقود
احتمال ظهور k صورة بالضبط في n رمية لعملة متزنة هو C(n,k) ÷ 2ⁿ؛ فمثلًا احتمال 5 صور بالضبط في 10 رميات هو 24.6%، واحتمال 3 صور متتالية هو 12.5%.
آخر تحديث:
الحاسبة (n، k، «بالضبط / على الأقل / على الأكثر»)
تحسب الحاسبة احتمال ظهور عدد معين من الصور في عدد معين من الرميات: تكتب n لعدد الرميات وk لعدد الصور، ثم تختار «بالضبط» أو «على الأقل» أو «على الأكثر». مثلًا، احتمال صورتين بالضبط في 3 رميات 37.5%، واحتمال صورة واحدة على الأقل في 3 رميات 87.5%، وفي 10 رميات 99.90%. الحاسبة مفيدة لحل تمارين احتمال رمي قطعة نقود في الواجبات المدرسية، وللتأكد من الإجابة بعد حلها يدويًا. والنتائج تفترض عملة متزنة ورميات مستقلة، وهو ما تفترضه كتب الرياضيات أيضًا.
القانون
قانون احتمال ظهور k صورة بالضبط في n رمية هو C(n,k) ÷ 2ⁿ. البسط C(n,k) هو عدد طرق اختيار مواضع الصور بين الرميات، والمقام 2ⁿ هو عدد كل النواتج الممكنة، لأن لكل رمية ناتجين. مثال: في 3 رميات عدد النواتج 2³ = 8، وعدد طرق الحصول على صورتين بالضبط C(3,2) = 3، فيكون الاحتمال 3 ÷ 8 = 37.5%. ولحساب «على الأقل» تجمع احتمالات الحالات المطلوبة، أو تستخدم الحدث المتمم: احتمال صورة واحدة على الأقل في 3 رميات يساوي 1 ناقص احتمال عدم ظهور أي صورة، أي 1 ناقص 1/8، وهو 87.5%.
رمي قطعة نقود مرتين: الرسم الشجري
عند رمي قطعة نقود مرتين هناك 4 نواتج متساوية الاحتمال، ويوضحها الرسم الشجري بفرعين في كل رمية. من نقطة البداية يخرج فرع للصورة وفرع للكتابة، ومن كل منهما فرعان آخران للرمية الثانية، فتصل إلى أربع نهايات: صورة ثم صورة، صورة ثم كتابة، كتابة ثم صورة، كتابة ثم كتابة. احتمال كل نهاية 1/2 × 1/2 = 1/4، أي 25%. ومن الرسم تقرأ مباشرة أن احتمال ظهور الكتابة مرتين 25%، واحتمال صورة وكتابة بأي ترتيب 50%، واحتمال صورة واحدة على الأقل 75%. وهذا من أكثر أسئلة الواجب شيوعًا في الصف.
ثلاث مرات: النواتج الثمانية
عند رمي قطعة نقود ثلاث مرات يكون عدد النواتج الممكنة 8، وكلها متساوية الاحتمال: ص ص ص، ص ص ك، ص ك ص، ك ص ص، ص ك ك، ك ص ك، ك ك ص، ك ك ك، حيث ص للصورة وك للكتابة. احتمال كل ناتج 1/8، أي 12.5%. ومن القائمة تعدّ بسهولة: ثلاث صور ناتج واحد فقط، أي 12.5%، وصورتان بالضبط ثلاثة نواتج، أي 37.5%، وصورة واحدة بالضبط ثلاثة نواتج أيضًا، أي 37.5%، ولا صورة إطلاقًا 12.5%. أما صورة واحدة على الأقل فهي كل النواتج ما عدا ك ك ك، أي 7 من 8، وتساوي 87.5%.
10 رميات
في 10 رميات لعملة متزنة يكون عدد النواتج الممكنة 1,024، والنتيجة الأكثر احتمالًا هي 5 صور بالضبط، لكن احتمالها 24.61% فقط. أي أنك في ثلاث مرات من كل أربع تقريبًا لن تحصل على 5 صور و5 كتابات. احتمال 4 صور أو 6 صور 20.51% لكل منهما، و3 أو 7 صور 11.72% لكل منهما، أما 10 صور كلها فاحتمالها 0.098%، أي 1 من 1,024. وصورة واحدة على الأقل في 10 رميات شبه مؤكدة: 99.90%. جرّب أن ترمي العملة 10 مرات في الأداة ثم قارن نتيجتك بالجدول، وستلاحظ أن التوزيع يقترب من هذه الأرقام كلما كررت التجربة.
السلاسل المتتالية
السلسلة المتتالية هي ظهور الوجه نفسه عدة مرات وراء بعضها، واحتمالها ينخفض إلى النصف مع كل رمية إضافية. لوجه محدد، كالصورة، يكون احتمال صورتين متتاليتين 1 من 4، وثلاث 1 من 8، وخمس 1 من 32، وعشر 1 من 1,024. أما إذا قبلت أي وجه، صورة كان أو كتابة، بدءًا من الرمية الأولى، فالاحتمال ضعف ذلك: 1 من 2 لرميتين، و1 من 4 لثلاث، و1 من 16 لخمس، و1 من 512 لعشر. والسبب أن الرمية الأولى تحدد الوجه المطلوب أيًا كان. وتذكّر أن السلسلة الطويلة لا تجعل الوجه الآخر «مستحقًا» في الرمية التالية.
100 رمية
في 100 رمية لعملة متزنة ستحصل غالبًا على عدد قريب من 50 صورة، لكن 50 بالضبط تحدث في 7.96% فقط من الحالات. احتمال أن يكون عدد الصور بين 45 و55 هو 72.87%، وبين 40 و60 هو 96.48%، أما 40 بالضبط أو 60 بالضبط فاحتمال كل منهما 1.08%. والسلاسل الطويلة متوقعة هنا: احتمال ظهور سلسلة من 6 وجوه متشابهة على الأقل 80.7%، ومن 7 على الأقل 54.2%. فإذا رأيت سبع كتابات متتالية في تجربة الصف، فهذا طبيعي تمامًا. ويمكنك تجربة ذلك بنفسك في صفحة رمي العملة 100 مرة.
جدول أ: احتمال ظهور k صورة بالضبط في n رمية
| عدد الصور | 3 رميات | 5 رميات | 10 رميات |
|---|---|---|---|
| 0 | 12.5% | 3.13% | 0.10% |
| 1 | 37.5% | 15.63% | 0.98% |
| 2 | 37.5% | 31.25% | 4.39% |
| 3 | 12.5% | 31.25% | 11.72% |
| 4 | 15.63% | 20.51% | |
| 5 | 3.13% | 24.61% | |
| 6 | 20.51% | ||
| 7 | 11.72% | ||
| 8 | 4.39% | ||
| 9 | 0.98% | ||
| 10 | 0.10% |
جدول ب: الوجه نفسه k مرات متتالية
| k | وجه محدد (مثل الصورة) | أي وجه، بدءًا من الرمية الأولى |
|---|---|---|
| 2 | 1 من 4 (25%) | 1 من 2 |
| 3 | 1 من 8 (12.5%) | 1 من 4 |
| 5 | 1 من 32 (3.13%) | 1 من 16 |
| 10 | 1 من 1,024 (0.098%) | 1 من 512 |
| 15 | 1 من 32,768 | 1 من 16,384 |
| 20 | 1 من 1,048,576 | 1 من 524,288 |
جدول ج: ما الطبيعي في 100 رمية
| النتيجة | الاحتمال |
|---|---|
| 50 صورة بالضبط | 7.96% |
| من 45 إلى 55 صورة | 72.87% |
| من 40 إلى 60 صورة | 96.48% |
| 40 بالضبط (أو 60 بالضبط) | 1.08% |
جدول د: أطول سلسلة في 100 رمية
| سلسلة طولها على الأقل… | الاحتمال |
|---|---|
| 5 | 97.2% |
| 6 | 80.7% |
| 7 | 54.2% |
| 8 | 31.5% |
| 10 | 8.7% |
جدول و: صورة واحدة على الأقل في n رمية
| 2 | 75% |
|---|---|
| 3 | 87.5% |
| 5 | 96.88% |
| 10 | 99.90% |
أسئلة
ما احتمال ظهور الصورة عند رمي قطعة نقود؟
احتمال ظهور الصورة عند رمي قطعة نقود متزنة مرة واحدة هو 1/2، أي 50%، وكذلك احتمال ظهور الكتابة. للتجربة ناتجان متساويان في الاحتمال، والاحتمال يساوي عدد النواتج المطلوبة مقسومًا على عدد النواتج الكلي. كل رمية مستقلة عن التي قبلها، فالعملة لا "تتذكر" النتائج السابقة، حتى لو ظهرت الكتابة خمس مرات متتالية.
ما الاحتمالات عند رمي قطعة نقود ثلاث مرات؟
عند رمي قطعة نقود ثلاث مرات يكون عدد النواتج الممكنة 8، وكلها متساوية الاحتمال. احتمال ظهور الصورة ثلاث مرات متتالية هو 1/8، أي 12.5%. واحتمال ظهور صورتين بالضبط 37.5%، وصورة واحدة بالضبط 37.5%، وصورة واحدة على الأقل 87.5%. أما خمس صور متتالية فاحتمالها 1 من 32، وعشر صور 1 من 1,024.
ما الاحتمالات عند رمي قطعة نقود مرتين؟
عند رمي قطعة نقود مرتين هناك 4 نواتج متساوية الاحتمال: صورة-صورة، صورة-كتابة، كتابة-صورة، كتابة-كتابة. لذلك احتمال ظهور الكتابة مرتين هو 1/4، أي 25%، واحتمال ظهور صورة وكتابة بأي ترتيب 50%، واحتمال ظهور صورة واحدة على الأقل 75%. ويمكن تمثيل هذه النواتج برسم شجري له فرعان في كل رمية.
ماذا يحدث عند رمي العملة 100 مرة؟
غالبًا تحصل على عدد قريب من 50 صورة، لكن نادرًا ما يكون 50 بالضبط. احتمال 50 صورة بالضبط في 100 رمية نحو 8%، واحتمال ما بين 45 و55 صورة نحو 73%، وما بين 40 و60 نحو 96%. والسلاسل الطويلة طبيعية أيضًا: احتمال ظهور سبعة وجوه متشابهة متتالية أو أكثر في مكان ما ضمن 100 رمية هو 54%.