Kalkulator Kebarangkalian Lambung Syiling
Kebarangkalian mendapat tepat k kepala dalam n lambungan syiling adil ialah C(n,k) ÷ 2ⁿ; contohnya, tepat 5 kepala dalam 10 lambungan ialah 24.6%, dan 3 kepala berturut-turut ialah 12.5%.
Kemas kini terakhir:
Kalkulator (n, k, "tepat / sekurang-kurangnya / paling banyak")
Kalkulator ini mengira kebarangkalian mendapat tepat k kepala, sekurang-kurangnya k kepala atau paling banyak k kepala dalam n lambungan. Masukkan bilangan lambungan n dan bilangan kepala k, kemudian pilih jenis soalan. Pilihan "tepat" menggunakan formula C(n,k) / 2ⁿ untuk satu nilai k sahaja. Pilihan "sekurang-kurangnya" menjumlahkan semua kebarangkalian dari k hingga n, manakala "paling banyak" menjumlahkan dari 0 hingga k. Contohnya, sekurang-kurangnya satu kepala dalam 2 lambungan ialah 75%, dalam 3 lambungan 87.5%, dan dalam 10 lambungan 99.90%. Ia berguna untuk menyemak jawapan latihan Matematik, tetapi tetap tunjukkan jalan kerja sendiri dalam peperiksaan.
Formula (binomial)
Kebarangkalian mendapat tepat k kepala dalam n lambungan ialah P(k) = C(n,k) / 2ⁿ, iaitu formula binomial bagi syiling adil. C(n,k) ialah bilangan cara memilih k lambungan yang menghasilkan kepala daripada n lambungan, dan 2ⁿ ialah jumlah semua kesudahan. Contohnya, untuk n = 3 dan k = 2, C(3,2) = 3 dan 2³ = 8, jadi kebarangkaliannya 3/8 atau 37.5%. Untuk n = 10 dan k = 5, C(10,5) = 252 dan 2¹⁰ = 1,024, maka jawapannya 252/1,024 atau 24.61%. Bagi soalan "sekurang-kurangnya satu kepala", lebih cepat guna peristiwa pelengkap: 1 tolak kebarangkalian semua ekor.
Dua dan tiga syiling: semua kesudahan
Dua syiling memberi 4 kesudahan yang sama mungkin, dan tiga syiling memberi 8. Untuk dua syiling, ruang sampelnya {KK, KE, EK, EE}, dengan K untuk kepala dan E untuk ekor. Kebarangkalian dua kepala ialah 1/4 atau 25%, dan sekurang-kurangnya satu kepala 3/4 atau 75%, seperti dalam soalan latihan Tingkatan 4. Untuk tiga syiling, kesudahannya KKK, KKE, KEK, KEE, EKK, EKE, EEK dan EEE. Tepat dua kepala muncul dalam tiga daripadanya, jadi 3/8 atau 37.5%. Tiga kepala hanya KKK, iaitu 12.5%, manakala sekurang-kurangnya satu kepala ialah semua kecuali EEE, iaitu 87.5%.
Carta 10 lambungan
Carta 10 lambungan menunjukkan kebarangkalian mendapat 0 hingga 10 kepala, dan bentuknya seperti loceng dengan puncak di tengah. Hasil paling mungkin ialah tepat 5 kepala, iaitu 24.61%. Tepat 4 atau tepat 6 kepala masing-masing 20.51%, tepat 3 atau 7 pula 11.72%, dan tepat 2 atau 8 hanya 4.39%. Di hujung carta, tepat 1 atau 9 kepala ialah 0.98%, manakala 0 atau 10 kepala cuma 0.10%. Carta ini menunjukkan mengapa hasil yang seimbang lebih kerap: terdapat 252 cara untuk mendapat lima kepala, tetapi hanya satu cara untuk mendapat sepuluh kepala.
Berturut-turut
Kebarangkalian mendapat muka tertentu k kali berturut-turut ialah 1/2 kuasa k. Jadi dua kepala berturut-turut ialah 1 dalam 4 atau 25%, tiga ialah 1 dalam 8 atau 12.5%, lima ialah 1 dalam 32 atau 3.13%, dan sepuluh ialah 1 dalam 1,024 atau kira-kira 0.098%. Jika mukanya bebas, kepala atau ekor, dan dikira dari lambungan pertama, peluangnya berganda: tiga muka sama berturut-turut menjadi 1 dalam 4, dan sepuluh menjadi 1 dalam 512. Siri panjang di tengah banyak lambungan sebenarnya biasa. Dalam 100 lambungan, peluang wujudnya siri tujuh muka sama atau lebih ialah 54.2%.
100 lambungan: apa yang normal
Dalam 100 lambungan, mendapat antara 45 dan 55 kepala adalah normal, manakala tepat 50 kepala sebenarnya jarang. Kebarangkalian tepat 50 kepala hanya 7.96%. Julat 45 hingga 55 kepala berlaku 72.87% daripada masa, dan julat 40 hingga 60 mencapai 96.48%. Tepat 40, atau tepat 60, kepala masing-masing hanya 1.08%. Inilah hukum nombor besar dalam amalan: semakin banyak lambungan, peratusan kepala semakin hampir kepada 50%, walaupun bilangannya jarang tepat di tengah. Jika mahu mencuba sendiri, gunakan alat lambung 100 kali dan catat keputusannya untuk latihan di kelas.
Syiling tiada ingatan
Syiling tiada ingatan, jadi setiap lambungan bebas dan peluang kepala sentiasa 50%, tidak kira apa yang berlaku sebelumnya. Selepas lima ekor berturut-turut, ramai orang rasa kepala "sudah sampai masa" untuk keluar. Tanggapan ini salah faham yang sangat biasa. Syiling tidak tahu apa yang berlaku tadi dan tidak cuba mengimbangkan keputusan. Dalam jangka panjang, peratusan memang menghampiri 50%, tetapi itu berlaku kerana banyaknya lambungan baharu yang mencairkan kesan awal, bukan kerana syiling membetulkan dirinya. Prinsip yang sama berlaku pada lambungan digital FlipACoin: setiap keputusan dijana secara berasingan.
Contoh soalan dan jawapan
Contoh soalan kebarangkalian syiling biasanya meminta ruang sampel dahulu, kemudian kebarangkalian. Soalan pertama: dua duit syiling dilambung, cari kebarangkalian mendapat sekurang-kurangnya satu kepala. Ruang sampelnya {KK, KE, EK, EE}; hanya EE tiada kepala, jadi jawapannya 1 tolak 1/4, iaitu 3/4. Soalan kedua: dua duit syiling dilambung, cari P(dua ekor). Hanya EE memenuhi syarat, maka P(dua ekor) = 1/4. Soalan ketiga: sekeping syiling dilambung 3 kali, cari kebarangkalian mendapat tepat dua kepala. Kesudahan KKE, KEK dan EKK memenuhi syarat daripada 8, jadi jawapannya 3/8. Tulis ruang sampel setiap kali supaya jalan kerja jelas kepada pemeriksa.
Tepat k kepala dalam n lambungan
| Kepala | 3 lambungan | 5 lambungan | 10 lambungan |
|---|---|---|---|
| 0 | 12.5% | 3.13% | 0.10% |
| 1 | 37.5% | 15.63% | 0.98% |
| 2 | 37.5% | 31.25% | 4.39% |
| 3 | 12.5% | 31.25% | 11.72% |
| 4 | 15.63% | 20.51% | |
| 5 | 3.13% | 24.61% | |
| 6 | 20.51% | ||
| 7 | 11.72% | ||
| 8 | 4.39% | ||
| 9 | 0.98% | ||
| 10 | 0.10% |
Muka sama k kali berturut-turut
| k | Muka tertentu (cth. kepala) | Mana-mana muka, dikira dari lambungan pertama |
|---|---|---|
| 2 | 1 dalam 4 (25%) | 1 dalam 2 |
| 3 | 1 dalam 8 (12.5%) | 1 dalam 4 |
| 5 | 1 dalam 32 (3.13%) | 1 dalam 16 |
| 10 | 1 dalam 1,024 (0.098%) | 1 dalam 512 |
| 15 | 1 dalam 32,768 | 1 dalam 16,384 |
| 20 | 1 dalam 1,048,576 | 1 dalam 524,288 |
100 lambungan: apa yang normal
| Hasil | Peluang |
|---|---|
| Tepat 50 kepala | 7.96% |
| 45 hingga 55 kepala | 72.87% |
| 40 hingga 60 kepala | 96.48% |
| Tepat 40 (atau tepat 60) kepala | 1.08% |
Siri terpanjang dalam 100 lambungan
| Siri sekurang-kurangnya… | Peluang |
|---|---|
| 5 | 97.2% |
| 6 | 80.7% |
| 7 | 54.2% |
| 8 | 31.5% |
| 10 | 8.7% |
Sekurang-kurangnya satu kepala dalam n lambungan
| 2 | 75% |
|---|---|
| 3 | 87.5% |
| 5 | 96.88% |
| 10 | 99.90% |
Soalan lazim
Apakah kebarangkalian mendapat sekurang-kurangnya satu kepala apabila dua duit syiling dilambung?
Kebarangkaliannya ialah 3/4, atau 75%. Dua syiling menghasilkan empat kesudahan yang sama mungkin: kepala-kepala, kepala-ekor, ekor-kepala dan ekor-ekor. Hanya ekor-ekor tidak mempunyai kepala, jadi jawapannya 1 − 1/4. Dengan tiga lambungan, peluang sekurang-kurangnya satu kepala naik kepada 87.5%, dan dengan lima lambungan kepada 96.88%. Setiap lambungan adalah bebas dan tidak dipengaruhi lambungan sebelumnya.
Apakah kebarangkalian mendapat kepala 3 kali berturut-turut?
Kebarangkaliannya 1 dalam 8, atau 12.5%. Setiap lambungan bebas dengan peluang 1/2, jadi tiga kepala berturut-turut ialah 1/2 × 1/2 × 1/2. Jika syiling dilambung 3 kali, peluang tepat 2 kepala ialah 37.5% dan sekurang-kurangnya satu kepala 87.5%. Lima kepala berturut-turut ialah 1 dalam 32, dan sepuluh berturut-turut 1 dalam 1,024.
Apa yang berlaku jika syiling dilambung 100 kali?
Biasanya hasilnya hampir 50 kepala, tetapi jarang tepat 50. Peluang tepat 50 kepala dalam 100 lambungan ialah kira-kira 8%. Peluang 45 hingga 55 kepala kira-kira 73%, dan 40 hingga 60 kepala kira-kira 96%. Siri panjang juga normal: ada peluang 54% untuk melihat tujuh atau lebih muka yang sama berturut-turut di mana-mana dalam 100 lambungan.