Münzwurf-Wahrscheinlichkeit berechnen
Die Wahrscheinlichkeit für genau k-mal Kopf bei n fairen Münzwürfen ist C(n,k) ÷ 2ⁿ; genau 5-mal Kopf bei 10 Würfen sind zum Beispiel 24,6 %, dreimal Kopf hintereinander 12,5 %.
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Rechner (n, k, „genau / mindestens / höchstens“)
Mit dem Rechner bestimmst du in Sekunden die Wahrscheinlichkeit für k Mal Kopf bei n Münzwürfen. Du gibst die Zahl der Würfe n und die gewünschte Anzahl k ein und wählst, ob du genau, mindestens oder höchstens k Mal Kopf meinst. Ein Beispiel: Bei 10 Würfen liegt die Chance auf genau 5 Mal Kopf bei 24,61 %. Für mindestens einmal Kopf bei 3 Würfen zeigt der Rechner 87,5 %. Das hilft bei Hausaufgaben, beim Nachprüfen eines eigenen Ergebnisses oder einfach, wenn dir eine Serie seltsam vorkommt. Der Rechenweg dahinter ist die Binomialverteilung, die wir im nächsten Abschnitt erklären.
Die Formel (Binomialverteilung)
Die Wahrscheinlichkeit für genau k Mal Kopf bei n fairen Würfen ist C(n,k) geteilt durch 2 hoch n. C(n,k) ist der Binomialkoeffizient, gesprochen „n über k“. Er zählt, auf wie viele Arten sich k Köpfe auf n Würfe verteilen lassen. 2 hoch n ist die Zahl aller möglichen Ergebnisse. Beispiel mit 3 Würfen und genau 2 Mal Kopf: Es gibt 3 passende Reihenfolgen (KKZ, KZK, ZKK) von insgesamt 8, also 3 geteilt durch 8 gleich 37,5 %. Die Formel gilt, weil jeder Wurf unabhängig ist und Kopf und Zahl jeweils 50 % haben. Im Matheunterricht heißt das Ganze Bernoulli-Kette.
Münze dreimal werfen: alle 8 Ergebnisse (Baumdiagramm)
Wirfst du eine Münze dreimal, gibt es 8 gleich wahrscheinliche Ergebnisse, jedes mit 12,5 %. Im Baumdiagramm teilt sich jeder Ast in Kopf (K) und Zahl (Z), und das dreimal hintereinander: KKK, KKZ, KZK, KZZ, ZKK, ZKZ, ZZK, ZZZ. Jeder Pfad hat die Wahrscheinlichkeit 1/2 mal 1/2 mal 1/2, also 1/8. Daraus liest du alles ab. Dreimal Kopf ist ein Pfad, also 12,5 %. Genau zweimal Kopf sind drei Pfade, also 37,5 %. Mindestens einmal Kopf sind alle Pfade außer ZZZ, also 7 von 8 oder 87,5 %. Genau so wird die Aufgabe „Münze dreimal werfen“ auch in der Schule gelöst.
10 Würfe als Tabelle
Bei 10 Würfen ist genau 5 Mal Kopf das häufigste Ergebnis, mit 24,61 %. Trotzdem kommt es in rund drei von vier Fällen anders. 4 oder 6 Mal Kopf haben je 20,51 %, 3 oder 7 Mal je 11,72 %, 2 oder 8 Mal je 4,39 %. Ganz außen wird es selten: 1 oder 9 Mal Kopf je 0,98 %, keinmal oder zehnmal Kopf je 0,10 %. Die Tabelle ist symmetrisch, weil Kopf und Zahl gleich wahrscheinlich sind. Wer bei 10 Würfen 7 Mal Kopf bekommt, hat also nichts Ungewöhnliches erlebt. Die vollständige Tabelle für 3, 5 und 10 Würfe steht weiter unten auf dieser Seite.
Serien: k-mal hintereinander
Die Chance, k Mal hintereinander eine bestimmte Seite zu werfen, ist 1 zu 2 hoch k. Zweimal Kopf in Folge: 1 zu 4 (25 %). Dreimal: 1 zu 8 (12,5 %). Fünfmal: 1 zu 32 (3,13 %). Zehnmal: 1 zu 1.024 (0,098 %). Ist egal, welche Seite die Serie bildet, und zählst du ab dem ersten Wurf, verdoppelt sich die Chance, weil der erste Wurf die Seite festlegt: zweimal gleich 1 zu 2, dreimal 1 zu 4, fünfmal 1 zu 16, zehnmal 1 zu 512. Achte bei Aufgaben also genau darauf, ob nach „Kopf“ oder nach „derselben Seite“ gefragt ist.
100 Würfe: was normal ist
Bei 100 Würfen ist ein Ergebnis zwischen 45 und 55 Mal Kopf normal, das passiert in 72,87 % der Fälle. Genau 50 Mal Kopf ist dagegen gar nicht so häufig: Die Chance liegt bei 7,96 %. Zwischen 40 und 60 Mal Kopf liegen 96,48 % aller Durchgänge. Genau 40 oder genau 60 Mal Kopf kommt jeweils mit 1,08 % vor. Auch lange Serien gehören dazu: In 54,2 % aller Durchgänge mit 100 Würfen gibt es irgendwo mindestens 7 Mal dieselbe Seite am Stück. Wenn dein Ergebnis also nicht genau 50 zu 50 lautet, ist das kein Fehler, sondern Zufall, wie er eben aussieht.
Die Münze hat kein Gedächtnis
Eine Münze erinnert sich nicht an frühere Würfe, jeder neue Wurf hat wieder 50 % für Kopf. Nach fünfmal Zahl ist Kopf nicht „fällig“. Trotzdem erwarten viele, dass sich der Zufall kurzfristig ausgleicht. Tatsächlich nähert sich nur der Anteil über sehr viele Würfe den 50 % an, weil neue Würfe die alte Abweichung verdünnen, nicht weil die Münze etwas wiedergutmacht. Eine Serie von sechs oder sieben gleichen Seiten in 100 Würfen ist deshalb ganz normal. Bei FlipACoin wird jeder Wurf auf dem Server unabhängig erzeugt und lässt sich auf der Seite Prüfen einzeln nachrechnen.
Genau k-mal Kopf bei n Würfen
| Kopf | 3 Würfe | 5 Würfe | 10 Würfe |
|---|---|---|---|
| 0 | 12,5 % | 3,13 % | 0,10 % |
| 1 | 37,5 % | 15,63 % | 0,98 % |
| 2 | 37,5 % | 31,25 % | 4,39 % |
| 3 | 12,5 % | 31,25 % | 11,72 % |
| 4 | 15,63 % | 20,51 % | |
| 5 | 3,13 % | 24,61 % | |
| 6 | 20,51 % | ||
| 7 | 11,72 % | ||
| 8 | 4,39 % | ||
| 9 | 0,98 % | ||
| 10 | 0,10 % |
k-mal dieselbe Seite hintereinander
| k | Bestimmte Seite (z. B. Kopf) | Beliebige Seite, ab dem ersten Wurf |
|---|---|---|
| 2 | 1 zu 4 (25 %) | 1 zu 2 |
| 3 | 1 zu 8 (12,5 %) | 1 zu 4 |
| 5 | 1 zu 32 (3,13 %) | 1 zu 16 |
| 10 | 1 zu 1.024 (0,098 %) | 1 zu 512 |
| 15 | 1 zu 32.768 | 1 zu 16.384 |
| 20 | 1 zu 1.048.576 | 1 zu 524.288 |
100 Würfe: was normal ist
| Ergebnis | Wahrscheinlichkeit |
|---|---|
| Genau 50-mal Kopf | 7,96 % |
| 45- bis 55-mal Kopf | 72,87 % |
| 40- bis 60-mal Kopf | 96,48 % |
| Genau 40-mal (oder genau 60-mal) Kopf | 1,08 % |
Längste Serie irgendwo in 100 Würfen
| Serie von mindestens … | Wahrscheinlichkeit |
|---|---|
| 5 | 97,2 % |
| 6 | 80,7 % |
| 7 | 54,2 % |
| 8 | 31,5 % |
| 10 | 8,7 % |
Mindestens einmal Kopf bei n Würfen
| 2 | 75 % |
|---|---|
| 3 | 87,5 % |
| 5 | 96,88 % |
| 10 | 99,90 % |
FAQ
Wie wahrscheinlich ist dreimal hintereinander Kopf?
Die Wahrscheinlichkeit beträgt 1 zu 8, also 12,5 %. Jeder Wurf ist unabhängig und hat eine Chance von 1/2, dreimal Kopf ergibt also 1/2 × 1/2 × 1/2. Bei drei Würfen liegt die Chance auf genau zweimal Kopf bei 37,5 % und auf mindestens einmal Kopf bei 87,5 %. Fünfmal Kopf hintereinander ist 1 zu 32, zehnmal hintereinander 1 zu 1.024.
Was passiert, wenn man eine Münze 100-mal wirft?
Meist kommt man nahe an 50-mal Kopf, aber selten genau auf 50. Die Chance auf genau 50-mal Kopf bei 100 Würfen liegt bei etwa 8 %. Zwischen 45 und 55-mal Kopf kommt man mit etwa 73 %, zwischen 40 und 60-mal mit etwa 96 %. Auch Serien sind normal: Mit 54 % Wahrscheinlichkeit gibt es irgendwo in 100 Würfen siebenmal oder öfter dieselbe Seite hintereinander.