Coin Toss प्रायिकता कैलकुलेटर
n निष्पक्ष टॉस में ठीक k head आने की प्रायिकता C(n,k) ÷ 2ⁿ है; उदाहरण के लिए, 10 टॉस में ठीक 5 head की प्रायिकता 24.6% और लगातार 3 head की 12.5% है।
अंतिम अपडेट:
कैलकुलेटर (n, k, "ठीक / कम से कम / ज़्यादा से ज़्यादा")
यह कैलकुलेटर बताता है कि n टॉस में k head आने की प्रायिकता कितनी है। n में टॉस की संख्या भरिए, k में head की संख्या, और फिर चुनिए कि आपको ठीक k चाहिए, कम से कम k या ज़्यादा से ज़्यादा k। उदाहरण: 10 टॉस में ठीक 5 head की प्रायिकता 24.61% है, जबकि 10 टॉस में कम से कम 1 head की 99.90%। स्कूल के सवाल, जैसे "सिक्का 3 बार उछालने पर ठीक 2 head आने की प्रायिकता", यहाँ तुरंत जाँचे जा सकते हैं: जवाब 37.5% है। कैलकुलेटर निष्पक्ष सिक्का मानता है, जिसमें हर टॉस पिछले से स्वतंत्र है।
सूत्र (binomial)
n निष्पक्ष टॉस में ठीक k head आने की प्रायिकता का सूत्र P = C(n,k) ÷ 2ⁿ है। यहाँ 2ⁿ सभी संभावित नतीजों की गिनती है, और C(n,k) बताता है कि उनमें से कितने नतीजों में ठीक k head हैं, यानी n में से k चुनने के तरीके। उदाहरण: 3 टॉस में ठीक 2 head के लिए C(3,2) = 3 और 2³ = 8, तो प्रायिकता 3/8 यानी 37.5%। "कम से कम एक head" के लिए उलटा सोचना आसान है: सारे tail आने की प्रायिकता घटा दीजिए, यानी 1 − (1/2)ⁿ। 10 टॉस में यह 99.90% बनता है।
3 बार टॉस: सभी 8 नतीजे
सिक्का 3 बार उछालने पर कुल 8 बराबर संभावित नतीजे बनते हैं: HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH और TTT। हर एक की प्रायिकता 1/8 यानी 12.5% है। तीनों head सिर्फ़ एक नतीजे (HHH) में हैं, इसलिए उसकी प्रायिकता 12.5% है। ठीक 2 head तीन नतीजों में हैं, तो 3/8 यानी 37.5%, और ठीक 1 head भी 37.5%। कम से कम एक head सात नतीजों में है, यानी 87.5%। यह सवाल कक्षा 10 की प्रायिकता में अक्सर आता है, और इसे हल करने का सबसे सीधा तरीका यही पूरी सूची लिख लेना है।
10 टॉस चार्ट
10 टॉस में सबसे संभावित नतीजा ठीक 5 head है, जिसकी प्रायिकता 24.61% है, यानी लगभग हर चार में एक बार। 4 या 6 head की प्रायिकता 20.51% है, 3 या 7 की 11.72%, 2 या 8 की 4.39%, 1 या 9 की 0.98%, और 0 या 10 head की सिर्फ़ 0.10%। चार्ट बीच में ऊँचा और दोनों किनारों पर नीचा होता है, घंटी जैसी शक्ल में। इसका मतलब साफ़ है: 10 टॉस में 5 और 5 आना ज़रूरी नहीं, 6 और 4 या 7 और 3 भी बिल्कुल सामान्य नतीजे हैं।
लगातार head
किसी तय तरफ़ के लगातार k बार आने की प्रायिकता (1/2)ᵏ है: लगातार 2 head 25%, 3 head 12.5%, 5 head 3.13% और 10 head 0.098%, यानी 1,024 में 1। अगर तरफ़ पहले से तय नहीं है और बस "कोई भी तरफ़ लगातार" चाहिए, तो पहले टॉस से गिनने पर मौका दोगुना हो जाता है: 3 बार एक जैसा 4 में 1, 5 बार 16 में 1 और 10 बार 512 में 1। इसलिए दोस्तों के बीच लगातार 3 या 4 head देखना कोई चमत्कार नहीं, बल्कि बिल्कुल आम बात है।
100 टॉस में सामान्य क्या है
गणित के हिसाब से 100 टॉस में head आमतौर पर 45 से 55 के बीच आते हैं, जिसकी प्रायिकता 72.87% है। ठीक 50 head सिर्फ़ 7.96% बार आते हैं, यानी 50 और 50 का बिल्कुल बराबर बँटवारा असल में कम ही होता है। 40 से 60 head की प्रायिकता 96.48% है, और ठीक 40 या ठीक 60 head की 1.08% प्रत्येक। इसका उलटा भी देखिए: 40 से 60 के दायरे से बाहर जाने की प्रायिकता सिर्फ़ लगभग 3.5% है। अगर ऐसा बार बार हो, तभी सिक्के पर शक करना ठीक है।
सिक्के की याददाश्त नहीं होती
सिक्के की कोई याददाश्त नहीं होती: पिछले टॉस में चाहे जो आया हो, अगले टॉस में head की प्रायिकता 50% ही रहती है। लगातार 5 tail के बाद कई लोगों को लगता है कि अब head "बनता है", पर छठे टॉस में भी head का मौका 50% है। लंबे समय में head और tail बराबरी के क़रीब इसलिए आते हैं क्योंकि नए टॉस पुराने फ़र्क़ को छोटा कर देते हैं, इसलिए नहीं कि सिक्का हिसाब बराबर करता है। क्रिकेट में कोई कप्तान लगातार कई टॉस हार जाए, तब भी अगले टॉस में उसका मौका आधा ही है।
n टॉस में ठीक k head
| Head | 3 टॉस | 5 टॉस | 10 टॉस |
|---|---|---|---|
| 0 | 12.5% | 3.13% | 0.10% |
| 1 | 37.5% | 15.63% | 0.98% |
| 2 | 37.5% | 31.25% | 4.39% |
| 3 | 12.5% | 31.25% | 11.72% |
| 4 | 15.63% | 20.51% | |
| 5 | 3.13% | 24.61% | |
| 6 | 20.51% | ||
| 7 | 11.72% | ||
| 8 | 4.39% | ||
| 9 | 0.98% | ||
| 10 | 0.10% |
लगातार k बार एक ही तरफ़
| k | कोई तय तरफ़ (जैसे head) | कोई भी तरफ़, पहले टॉस से गिनकर |
|---|---|---|
| 2 | 4 में 1 (25%) | 2 में 1 |
| 3 | 8 में 1 (12.5%) | 4 में 1 |
| 5 | 32 में 1 (3.13%) | 16 में 1 |
| 10 | 1,024 में 1 (0.098%) | 512 में 1 |
| 15 | 32,768 में 1 | 16,384 में 1 |
| 20 | 1,048,576 में 1 | 524,288 में 1 |
100 टॉस में सामान्य क्या है
| नतीजा | संभावना |
|---|---|
| ठीक 50 head | 7.96% |
| 45 से 55 head | 72.87% |
| 40 से 60 head | 96.48% |
| ठीक 40 (या ठीक 60) head | 1.08% |
100 टॉस में सबसे लंबा सिलसिला
| कम से कम इतना लंबा… | संभावना |
|---|---|
| 5 | 97.2% |
| 6 | 80.7% |
| 7 | 54.2% |
| 8 | 31.5% |
| 10 | 8.7% |
n टॉस में कम से कम एक head
| 2 | 75% |
|---|---|
| 3 | 87.5% |
| 5 | 96.88% |
| 10 | 99.90% |
सवाल
जब सिक्का 3 बार उछाला जाए, तो प्रायिकता क्या होती है?
3 बार उछालने पर 8 बराबर संभावित नतीजे होते हैं, इसलिए लगातार 3 head की प्रायिकता 1/8, यानी 12.5% है। ठीक 2 head की प्रायिकता 37.5%, ठीक 1 head की 37.5% और कम से कम एक head की 87.5% है। हर टॉस स्वतंत्र है, इसलिए लगातार 5 head की प्रायिकता 1/32 और 10 head की 1/1,024 है।
सिक्का उछालने पर हेड (चित) आने की प्रायिकता क्या है?
एक निष्पक्ष सिक्के को एक बार उछालने पर हेड (चित) आने की प्रायिकता 1/2, यानी 50% है, और टेल (पट) की भी 1/2। हर टॉस पिछले टॉस से स्वतंत्र होता है, सिक्के की कोई याददाश्त नहीं होती। n बार उछालने पर कम से कम एक हेड की प्रायिकता 1 − (1/2)ⁿ है: 2 बार में 75%, 3 बार में 87.5% और 10 बार में 99.90%।
सिक्का 100 बार उछालें तो क्या होता है?
आमतौर पर head 50 के आसपास आते हैं, पर ठीक 50 कम ही आते हैं। 100 टॉस में ठीक 50 head की संभावना लगभग 8% है। 45 से 55 head की संभावना लगभग 73% और 40 से 60 की लगभग 96% है। लंबे सिलसिले भी सामान्य हैं: 100 टॉस में कहीं न कहीं लगातार सात या ज़्यादा एक जैसे नतीजों की संभावना 54% है।