Prawdopodobieństwo w rzucie monetą
Prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie k orłów w n rzutach uczciwą monetą wynosi C(n,k) ÷ 2ⁿ; na przykład dokładnie 5 orłów w 10 rzutach to 24,6%, a 3 orły z rzędu to 12,5%.
Ostatnia aktualizacja:
Kalkulator (n, k, „dokładnie / co najmniej / co najwyżej”)
Kalkulator jednym kliknięciem podaje prawdopodobieństwo uzyskania k orłów w n rzutach monetą. Wpisz liczbę rzutów n i liczbę orłów k, a potem wybierz „dokładnie”, „co najmniej” albo „co najwyżej”. Przykład: dokładnie 5 orłów w 10 rzutach to 24,61%, a co najmniej jeden orzeł w 10 rzutach to 99,90%. To wygodny sposób, żeby sprawdzić wynik zadania z prawdopodobieństwa w rzucie monetą albo ocenić, czy seria, która wydaje ci się dziwna, naprawdę taka jest. Wyniki zakładają uczciwą monetę i niezależne rzuty.
Wzór (rozkład dwumianowy)
Prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie k orłów w n rzutach liczy się ze wzoru rozkładu dwumianowego: P = C(n,k) / 2ⁿ. Mianownik 2ⁿ to liczba wszystkich możliwych ciągów orłów i reszek, a każdy z nich jest równie prawdopodobny. Symbol Newtona C(n,k), czytany „n po k”, mówi, ile z tych ciągów ma dokładnie k orłów. Przykład dla trzech rzutów: 2³ = 8 ciągów, z czego 3 mają dokładnie dwa orły, czyli 3/8 = 37,5%. Dla „co najmniej k” sumujesz wyniki od k do n. Kalkulator zrobi to za ciebie.
Trzykrotny rzut monetą: wszystkie 8 wyników
Trzykrotny rzut monetą daje 8 równie prawdopodobnych wyników: OOO, OOR, ORO, ROO, ORR, ROR, RRO i RRR (O to orzeł, R to reszka). Każdy z nich ma prawdopodobieństwo 1 na 8, czyli 12,5%. Trzy orły wypadają więc raz na osiem prób. Dokładnie dwa orły to trzy wyniki, czyli 37,5%, tak samo jak dokładnie jeden orzeł. Co najmniej jeden orzeł to wszystko poza RRR: 7 na 8, czyli 87,5%. To drzewko z ośmioma gałęziami jest punktem wyjścia w większości szkolnych zadań z rzutem monetą.
10 rzutów w tabeli
W 10 rzutach monetą możliwe są 1 024 ciągi, a najbardziej prawdopodobny wynik to dokładnie 5 orłów, z szansą 24,61%. Dokładnie 4 albo 6 orłów wypada w 20,51% przypadków każdy, 3 albo 7 orłów w 11,72%, a 2 albo 8 w 4,39%. Skrajne wyniki są rzadkie: jeden albo dziewięć orłów to 0,98%, a zero albo dziesięć tylko 0,10%, czyli 1 na 1 024. Co najmniej jeden orzeł w 10 rzutach to aż 99,90%. Pełną tabelę znajdziesz poniżej, a kalkulator policzy dowolne inne n.
Serie: k razy z rzędu
Prawdopodobieństwo, że konkretna strona wypadnie k razy z rzędu, wynosi 1 na 2 do potęgi k. Dwa orły z rzędu to 1 na 4 (25%), trzy to 1 na 8 (12,5%), pięć to 1 na 32 (3,13%), a dziesięć to 1 na 1 024 (0,098%). Jeśli pasuje ci dowolna strona, liczona od pierwszego rzutu, szanse rosną dwukrotnie: 1 na 2 dla dwóch takich samych wyników, 1 na 4 dla trzech, 1 na 16 dla pięciu i 1 na 512 dla dziesięciu. Pierwszy rzut po prostu wyznacza stronę, która ma się powtarzać.
100 rzutów: co jest normalne
W 100 rzutach monetą wynik od 45 do 55 orłów jest normalny: zdarza się w 72,87% przypadków. Od 40 do 60 orłów to już 96,48%. Dokładnie 50 orłów wypada natomiast tylko w 7,96% przypadków, a dokładnie 40 albo dokładnie 60 w 1,08% każdy. Długie serie też są częścią gry: seria co najmniej 6 takich samych wyników pojawia się w 80,7% ciągów po 100 rzutów, a co najmniej 7 w 54,2%. Wynik 57 do 43 albo sześć reszek z rzędu niczego więc nie dowodzi.
Moneta nie ma pamięci
Moneta nie ma pamięci: po pięciu orłach z rzędu kolejny rzut nadal daje orła z szansą 50%. Przekonanie, że reszka „musi” w końcu wypaść, żeby wyrównać wynik, to bardzo częsty błąd myślenia. Każdy rzut jest niezależny od poprzedniego, a moneta nie wie, co działo się wcześniej. Proporcja 50/50 wyłania się dopiero przy bardzo dużej liczbie rzutów, bo odchylenia się rozmywają, a nie dlatego, że coś je koryguje. Pięć orłów z rzędu jest tak samo prawdopodobne jak każdy inny konkretny ciąg pięciu rzutów: 1 na 32.
Dokładnie k orłów w n rzutach
| Orły | 3 rzuty | 5 rzutów | 10 rzutów |
|---|---|---|---|
| 0 | 12,5% | 3,13% | 0,10% |
| 1 | 37,5% | 15,63% | 0,98% |
| 2 | 37,5% | 31,25% | 4,39% |
| 3 | 12,5% | 31,25% | 11,72% |
| 4 | 15,63% | 20,51% | |
| 5 | 3,13% | 24,61% | |
| 6 | 20,51% | ||
| 7 | 11,72% | ||
| 8 | 4,39% | ||
| 9 | 0,98% | ||
| 10 | 0,10% |
Ta sama strona k razy z rzędu
| k | Określona strona (np. orzeł) | Dowolna strona, licząc od pierwszego rzutu |
|---|---|---|
| 2 | 1 na 4 (25%) | 1 na 2 |
| 3 | 1 na 8 (12,5%) | 1 na 4 |
| 5 | 1 na 32 (3,13%) | 1 na 16 |
| 10 | 1 na 1 024 (0,098%) | 1 na 512 |
| 15 | 1 na 32 768 | 1 na 16 384 |
| 20 | 1 na 1 048 576 | 1 na 524 288 |
100 rzutów: co jest normalne
| Wynik | Prawdopodobieństwo |
|---|---|
| Dokładnie 50 orłów | 7,96% |
| Od 45 do 55 orłów | 72,87% |
| Od 40 do 60 orłów | 96,48% |
| Dokładnie 40 (lub dokładnie 60) orłów | 1,08% |
Najdłuższa seria w 100 rzutach
| Seria co najmniej… | Prawdopodobieństwo |
|---|---|
| 5 | 97,2% |
| 6 | 80,7% |
| 7 | 54,2% |
| 8 | 31,5% |
| 10 | 8,7% |
Co najmniej jeden orzeł w n rzutach
| 2 | 75% |
|---|---|
| 3 | 87,5% |
| 5 | 96,88% |
| 10 | 99,90% |
FAQ
Jakie jest prawdopodobieństwo w 10 rzutach monetą?
Najbardziej prawdopodobne jest dokładnie 5 orłów na 10 rzutów, ale tylko w 24,61% przypadków. Dokładnie 4 albo 6 orłów wypada w 20,51% przypadków, a 10 orłów z rzędu to szansa 1 na 1 024, czyli około 0,1%. Przynajmniej jeden orzeł w 10 rzutach wypada w 99,90% przypadków. Każdy rzut jest niezależny, więc moneta nie „pamięta” poprzednich wyników.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że orzeł wypadnie 3 razy z rzędu?
Wynosi ono 1 do 8, czyli 12,5%. Każdy rzut jest niezależny i daje orła z szansą 1/2, więc trzy orły z rzędu to 1/2 × 1/2 × 1/2. W trzykrotnym rzucie monetą dokładnie dwa orły wypadają z prawdopodobieństwem 37,5%, a przynajmniej jeden orzeł z prawdopodobieństwem 87,5%. Pięć orłów z rzędu to 1 do 32, a dziesięć z rzędu 1 do 1 024.
Co się dzieje, gdy rzucisz monetą 100 razy?
Zwykle wypada około 50 orłów, ale rzadko dokładnie 50. Szansa na dokładnie 50 orłów w 100 rzutach to około 8%. Od 45 do 55 orłów wypada w około 73% przypadków, a od 40 do 60 w około 96%. Serie też są normalne: z prawdopodobieństwem 54% gdzieś w 100 rzutach ta sama strona wypadnie siedem lub więcej razy z rzędu.