ความน่าจะเป็นของการโยนเหรียญ

เครื่องคิดเลข (n, k, พอดี/อย่างน้อย/ไม่เกิน)

เครื่องคิดเลขความน่าจะเป็นโยนเหรียญนี้ให้ใส่จำนวนครั้งที่โยน (n) และจำนวนหัว (k) แล้วเลือกว่าต้องการหัวพอดี k ครั้ง อย่างน้อย k ครั้ง หรือไม่เกิน k ครั้ง ระบบจะคำนวณให้ทันที เช่น n = 3, k = 2 แบบพอดีได้ 37.5% ถ้าเปลี่ยนเป็นอย่างน้อย 2 ครั้งจะได้ 50% ส่วน n = 10, k = 5 แบบพอดีได้ 24.61% เหมาะกับนักเรียนที่อยากเช็กคำตอบโจทย์ ทุกค่าคำนวณจากเหรียญเที่ยงตรงที่แต่ละครั้งเป็นอิสระต่อกัน

สูตรความน่าจะเป็น

สูตรความน่าจะเป็นที่จะได้หัวพอดี k ครั้งจากการโยนเหรียญ n ครั้งคือ C(n,k) ÷ 2ⁿ โดย 2ⁿ คือจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด และ C(n,k) คือจำนวนวิธีเลือกตำแหน่งที่ออกหัว k ครั้งจาก n ครั้ง เช่น โยน 3 ครั้งได้หัว 2 ครั้ง เท่ากับ C(3,2) ÷ 2³ = 3 ÷ 8 = 37.5% และโยน 10 ครั้งได้หัว 5 ครั้ง เท่ากับ 252 ÷ 1,024 หรือ 24.61% สูตรนี้ใช้ได้เมื่อโอกาสออกหัวแต่ละครั้งเท่ากับ 1/2 และแต่ละครั้งเป็นอิสระต่อกัน

แผนภาพต้นไม้: โยน 3 ครั้งได้ 8 แบบ

การโยนเหรียญ 1 เหรียญ 3 ครั้งได้ผลลัพธ์ 8 แบบ (2 × 2 × 2) แต่ละแบบมีโอกาสเท่ากันคือ 1/8 หรือ 12.5% วาดแผนภาพต้นไม้ได้โดยแตกกิ่งเป็นหัว (H) และก้อย (T) ชั้นละ 2 กิ่ง รวม 3 ชั้น ปลายกิ่งจะได้ HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH และ TTT ถ้านับเฉพาะแบบที่ได้หัว 2 ครั้ง จะมี HHT, HTH, THH รวม 3 แบบ จึงเท่ากับ 3/8 หรือ 37.5% ส่วนหัวทั้ง 3 ครั้งมีแบบเดียว คือ 12.5%

โยน 2, 3, 4, 5 ครั้ง

จำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดเท่ากับ 2 ยกกำลังจำนวนครั้งที่โยน โยน 2 ครั้งได้ 4 แบบ โอกาสได้หัวพอดี 0, 1, 2 ครั้งคือ 25%, 50%, 25% โยน 3 ครั้งได้ 8 แบบ คือ 12.5%, 37.5%, 37.5%, 12.5% โยน 4 ครั้งได้ 16 แบบ คือ 6.25%, 25%, 37.5%, 25%, 6.25% และโยน 5 ครั้งได้ 32 แบบ คือ 3.13%, 15.63%, 31.25%, 31.25%, 15.63%, 3.13% สังเกตว่าค่าตรงกลางสูงที่สุดเสมอ และผลรวมทุกช่องเท่ากับ 100%

โยนหลายเหรียญพร้อมกัน

โยนเหรียญ 3 เหรียญพร้อมกัน 1 ครั้ง ให้ผลเหมือนโยน 1 เหรียญ 3 ครั้งทุกประการ ถ้าเหรียญทุกเหรียญเที่ยงตรง เพราะแต่ละเหรียญออกหัวก้อยอย่างอิสระ จึงได้ผลลัพธ์ 8 แบบเท่ากัน โอกาสได้หัว 2 เหรียญคือ 37.5% หัวทั้ง 3 เหรียญคือ 12.5% และหัวอย่างน้อย 1 เหรียญคือ 87.5% เวลาทำโจทย์ ให้ลองนึกว่าเหรียญแต่ละเหรียญมีสีต่างกัน จะเห็นว่า HHT กับ HTH เป็นคนละแบบ เช่นเดียวกับโยนเหรียญ 2 เหรียญพร้อมกันที่ได้ 4 แบบ

ออกติดกันกี่ครั้ง

โอกาสที่ด้านที่กำหนดไว้ เช่น หัว จะออกติดกัน k ครั้ง เท่ากับ (1/2)ᵏ หัวติดกัน 2 ครั้งคือ 1 ใน 4 (25%) 3 ครั้งคือ 1 ใน 8 (12.5%) 5 ครั้งคือ 1 ใน 32 (3.13%) และ 10 ครั้งคือ 1 ใน 1,024 (0.098%) แต่ถ้าถามว่าออกด้านเดียวกันติดกันตั้งแต่ครั้งแรก โดยไม่สนว่าหัวหรือก้อย โอกาสจะเพิ่มเป็นสองเท่า คือ 2 ครั้ง 1 ใน 2, 3 ครั้ง 1 ใน 4, 5 ครั้ง 1 ใน 16 และ 10 ครั้ง 1 ใน 512 อ่านโจทย์ให้ดีว่าถามแบบไหน

โยน 100 ครั้ง

โยนเหรียญ 100 ครั้ง จำนวนหัวมักอยู่ใกล้ 50 แต่โอกาสได้หัวพอดี 50 ครั้งมีเพียง 7.96% ได้หัว 45 ถึง 55 ครั้ง 72.87% และ 40 ถึง 60 ครั้ง 96.48% ส่วนหัวพอดี 40 หรือพอดี 60 ครั้งมีโอกาสอย่างละ 1.08% การออกด้านเดิมติดกันก็พบได้บ่อย โอกาสที่จะมีช่วงติดกันอย่างน้อย 7 ครั้งใน 100 ครั้งคือ 54.2% ลองใช้หน้าโยนเหรียญ 100 ครั้งเพื่อดูผลจริงเทียบกับตัวเลขเหล่านี้

ตัวอย่างโจทย์พร้อมเฉลย

โจทย์ 1: โยนเหรียญ 3 ครั้ง โอกาสได้หัวทั้ง 3 ครั้งเท่ากับเท่าไร เฉลย 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8 หรือ 12.5% โจทย์ 2: โยน 3 ครั้ง ได้หัวอย่างน้อย 1 ครั้ง เฉลย ใช้ส่วนเติมเต็ม 1 ลบ 1/8 ได้ 7/8 หรือ 87.5% โจทย์ 3: โยน 2 ครั้ง ได้หัวอย่างน้อย 1 ครั้ง เฉลย 1 ลบ 1/4 ได้ 75% โจทย์ 4: โยน 5 ครั้ง ได้หัวพอดี 3 ครั้ง เฉลย C(5,3) ÷ 32 = 10 ÷ 32 = 31.25% เคล็ดลับคือ โจทย์ที่มีคำว่า "อย่างน้อย" ให้คิดจากกรณีตรงข้ามจะเร็วกว่า

โอกาสได้หัวพอดี k ครั้งจากการโยน n ครั้ง

ออกด้านเดิมติดกัน k ครั้ง

โยน 100 ครั้ง ผลแบบไหนปกติ

ออกด้านเดิมติดกันสักช่วงใน 100 ครั้ง

ได้หัวอย่างน้อย 1 ครั้งจากการโยน n ครั้ง