Peluang lempar koin
Peluang muncul angka saat sebuah koin dilempar sekali adalah 1/2; peluang muncul angka tepat k kali dari n lemparan adalah C(n,k) ÷ 2ⁿ, misalnya tepat 5 dari 10 lemparan = 24,61%.
Terakhir diperbarui:
Koin dilempar sekali: P(A) = 1/2
Jika sebuah koin dilempar sekali, peluang muncul angka adalah P(A) = 1/2 atau 50%. Ruang sampelnya S = {A, G}, jadi n(S) = 2. Kejadian muncul angka hanya punya satu titik sampel, yaitu A, sehingga n(A) = 1. Dengan rumus P(A) = n(A)/n(S), hasilnya 1/2. Peluang muncul gambar juga 1/2, dan jumlah keduanya selalu 1. Ingat bahwa koin tidak punya ingatan: walaupun angka sudah keluar empat kali beruntun, peluang angka pada lemparan berikutnya tetap 1/2. Inilah jawaban untuk soal "sebuah koin dilempar sekali, peluang muncul angka adalah" yang sering muncul di buku matematika SMP.
Ruang sampel dan titik sampel (n(S) = 2ⁿ)
Ruang sampel adalah himpunan semua hasil yang mungkin, dan untuk n koin banyaknya n(S) = 2ⁿ. Setiap anggota ruang sampel disebut titik sampel. Satu koin punya 2 titik sampel: A dan G. Dua koin punya 2² = 4, yaitu AA, AG, GA, GG. Tiga koin punya 2³ = 8, dan sepuluh koin sudah 2¹⁰ = 1.024. Melempar 3 koin sekaligus sama saja dengan melempar satu koin 3 kali, karena tiap koin tetap dibedakan. Cara cepat menuliskannya adalah dengan diagram pohon atau tabel. Perhatikan bahwa AG dan GA adalah dua titik sampel berbeda, sehingga peluang "satu angka satu gambar" pada dua koin adalah 2/4, bukan 1/3.
Pelemparan 2 dan 3 koin
Pada pelemparan 2 koin ada 4 titik sampel, dan pada pelemparan 3 koin ada 8 titik sampel yang sama mungkin. Untuk 2 koin, peluang dua angka adalah 1/4 atau 25%, dan peluang paling sedikit satu angka 3/4 atau 75%. Untuk 3 koin, ruang sampelnya AAA, AAG, AGA, AGG, GAA, GAG, GGA, GGG. Tepat dua angka muncul pada AAG, AGA, dan GAA, jadi peluangnya 3/8 atau 37,5%. Tiga angka sekaligus hanya AAA, yaitu 1/8 atau 12,5%. Paling sedikit satu angka berarti semua kecuali GGG, yaitu 7/8 atau 87,5%.
Rumus peluang (binomial)
Peluang muncul angka tepat k kali dari n lemparan dihitung dengan rumus binomial P(k) = C(n,k) / 2ⁿ. C(n,k) adalah banyak cara memilih k lemparan yang menghasilkan angka dari n lemparan, sedangkan 2ⁿ adalah banyak titik sampel. Contohnya, untuk n = 3 dan k = 2, C(3,2) = 3 dan 2³ = 8, jadi peluangnya 3/8 atau 37,5%. Untuk n = 10 dan k = 5, C(10,5) = 252 dan 2¹⁰ = 1.024, sehingga peluangnya 252/1.024 atau 24,61%. Untuk soal "paling sedikit satu angka", lebih cepat memakai komplemen: 1 dikurangi peluang semua gambar.
Kalkulator peluang (n, k, tepat/paling sedikit/paling banyak)
Kalkulator peluang di halaman ini menghitung peluang muncul angka tepat k kali, paling sedikit k kali, atau paling banyak k kali dari n lemparan. Masukkan jumlah lemparan n dan jumlah angka k, lalu pilih jenis soalnya. Pilihan "tepat" memakai rumus C(n,k) / 2ⁿ untuk satu nilai k saja. Pilihan "paling sedikit" menjumlahkan semua peluang dari k sampai n, sedangkan "paling banyak" menjumlahkan dari 0 sampai k. Misalnya, paling sedikit satu angka dari 3 lemparan hasilnya 87,5%, dan dari 10 lemparan 99,90%. Kalkulator ini berguna untuk mengecek jawaban PR, tetapi tetap tulis langkah pengerjaannya sendiri di buku.
Berturut-turut
Peluang muncul sisi tertentu k kali berturut-turut adalah (1/2) pangkat k. Jadi angka 2 kali berturut-turut peluangnya 1/4 atau 25%, 3 kali 1/8 atau 12,5%, 5 kali 1/32 atau 3,13%, dan 10 kali 1/1.024 atau sekitar 0,098%. Kalau sisinya bebas, angka atau gambar, dan dihitung dari lemparan pertama, peluangnya dua kali lebih besar: 3 kali sisi sama berturut-turut menjadi 1 dari 4, dan 10 kali menjadi 1 dari 512. Deretan panjang di tengah banyak lemparan justru biasa. Dalam 100 lemparan, peluang ada deret 7 sisi sama atau lebih mencapai 54,2%.
Dilempar 100 kali
Jika koin dilempar 100 kali, angka paling mungkin muncul sekitar 50 kali, tetapi tepat 50 kali hanya berpeluang 7,96%. Hasil 45 sampai 55 kali angka terjadi 72,87%, dan 40 sampai 60 kali mencapai 96,48%. Tepat 40 kali, atau tepat 60 kali, masing-masing hanya 1,08%. Inilah hukum bilangan besar dalam praktik: makin banyak lemparan, persentase angka makin dekat ke 50%, walaupun jumlahnya jarang pas di tengah. Kalau ingin mencoba sendiri, buka alat lempar koin 100 kali dan catat hasilnya untuk laporan percobaan peluang di kelas.
Contoh soal dan pembahasan
Contoh soal peluang lempar koin biasanya meminta ruang sampel lebih dulu, baru peluangnya. Soal pertama: dua koin dilempar bersamaan, berapa peluang muncul dua gambar? Ruang sampelnya {AA, AG, GA, GG} dan hanya GG yang memenuhi, jadi jawabannya 1/4. Soal kedua: tiga koin dilempar, berapa peluang muncul tepat dua angka? Titik sampel yang memenuhi adalah AAG, AGA, dan GAA dari 8, sehingga peluangnya 3/8. Soal ketiga: koin dilempar 10 kali, berapa peluang angka muncul tepat 5 kali? Pakai rumus C(10,5) / 2¹⁰ = 252/1.024, kira-kira 24,61%. Soal keempat: koin dilempar 2 kali, berapa peluang paling sedikit satu angka? Jawabannya 1 dikurangi 1/4, yaitu 3/4.
Peluang muncul angka tepat k kali dari n lemparan
| Jumlah angka | 3 kali | 5 kali | 10 kali |
|---|---|---|---|
| 0 | 12,5% | 3,13% | 0,10% |
| 1 | 37,5% | 15,63% | 0,98% |
| 2 | 37,5% | 31,25% | 4,39% |
| 3 | 12,5% | 31,25% | 11,72% |
| 4 | 0% | 15,63% | 20,51% |
| 5 | 0% | 3,13% | 24,61% |
| 6 | 0% | 0% | 20,51% |
| 7 | 0% | 0% | 11,72% |
| 8 | 0% | 0% | 4,39% |
| 9 | 0% | 0% | 0,98% |
| 10 | 0% | 0% | 0,10% |
Sisi yang sama k kali berturut-turut
| k | Sisi tertentu (mis. angka) | Sisi mana saja (dihitung dari lemparan pertama) |
|---|---|---|
| 2 | 1 dari 4 (25%) | 1 dari 2 |
| 3 | 1 dari 8 (12,5%) | 1 dari 4 |
| 5 | 1 dari 32 (3,13%) | 1 dari 16 |
| 10 | 1 dari 1.024 (0,098%) | 1 dari 512 |
| 15 | 1 dari 32.768 | 1 dari 16.384 |
| 20 | 1 dari 1.048.576 | 1 dari 524.288 |
100 lemparan: apa yang normal
| Hasil | Peluang |
|---|---|
| Tepat 50 angka | 7,96% |
| 45 sampai 55 angka | 72,87% |
| 40 sampai 60 angka | 96,48% |
| Tepat 40 (atau tepat 60) angka | 1,08% |
Deret terpanjang di suatu tempat dalam 100 lemparan
| Deret paling sedikit… | Peluang |
|---|---|
| 5 | 97,2% |
| 6 | 80,7% |
| 7 | 54,2% |
| 8 | 31,5% |
| 10 | 8,7% |
Paling sedikit satu angka dari n lemparan
| 2 | 75% |
|---|---|
| 3 | 87,5% |
| 5 | 96,88% |
| 10 | 99,90% |
Pertanyaan umum
Sebuah koin dilempar sekali, berapa peluang muncul angka?
Peluang muncul angka saat sebuah koin dilempar sekali adalah 1/2 atau 50%. Ruang sampelnya hanya dua, yaitu angka (A) dan gambar (G), dan keduanya sama-sama mungkin pada koin yang seimbang. Jadi P(A) = n(A)/n(S) = 1/2, dan peluang muncul gambar juga 1/2. Peluang ini tidak berubah walaupun angka sudah muncul beberapa kali sebelumnya.
Pada pelemparan 3 koin, berapa ruang sampel dan peluangnya?
Pada pelemparan 3 koin, ruang sampelnya berisi 2³ = 8 titik sampel: AAA, AAG, AGA, AGG, GAA, GAG, GGA, GGG. Peluang muncul tepat dua angka adalah 3/8 atau 37,5%, tiga angka 1/8 atau 12,5%, dan paling sedikit satu angka 7/8 atau 87,5%. Hasilnya sama dengan melempar satu koin sebanyak 3 kali.
Berapa peluang angka muncul jika koin dilempar 10 kali?
Peluang muncul angka tepat 5 kali dalam 10 lemparan adalah 24,61%, dan itulah hasil yang paling mungkin. Tepat 4 atau tepat 6 kali masing-masing 20,51%, sedangkan angka di semua 10 lemparan hanya 1/1.024 atau sekitar 0,10%. Peluang muncul angka pada setiap lemparan tetap 1/2, karena koin tidak punya ingatan.
Apa rumus peluang melempar koin?
Rumusnya P(k) = C(n,k) ÷ 2ⁿ, yaitu peluang muncul angka tepat k kali dari n lemparan, dengan banyak ruang sampel n(S) = 2ⁿ. Contoh: dilempar 3 kali, peluang tepat dua angka = 3/8 = 37,5%; dilempar 5 kali, peluang tepat tiga angka = 10/32 = 31,25%. Peluang paling sedikit satu angka = 1 − (1/2)ⁿ.