Xác suất tung đồng xu
Xác suất được đúng k lần ngửa khi tung đồng xu n lần là C(n,k) chia cho 2ⁿ; ví dụ tung 10 lần được đúng 5 lần ngửa là 24,61%.
Cập nhật lần cuối:
Máy tính xác suất (n, k, đúng/ít nhất/nhiều nhất)
Máy tính xác suất cho bạn nhập số lần tung n và số lần ngửa k, rồi chọn kiểu "đúng k", "ít nhất k" hoặc "nhiều nhất k" để ra kết quả ngay. Ví dụ, nhập n = 3, k = 2 và chọn "đúng" sẽ ra 37,5%; nhập n = 10 và chọn "ít nhất 1" sẽ ra 99,90%. Công cụ dùng đúng công thức nhị thức trong sách giáo khoa, nên bạn có thể dùng nó để kiểm tra lại bài tập tung đồng xu tính xác suất trước khi nộp. Không cần đăng ký, mở trang là dùng được.
Công thức
Xác suất được đúng k lần ngửa khi tung đồng xu n lần là P = C(n,k) / 2ⁿ. Trong đó C(n,k) là số tổ hợp chập k của n, tức số cách chọn ra k lần ngửa trong n lần tung, còn 2ⁿ là tổng số kết quả có thể xảy ra. Ví dụ tung 3 lần, đúng 2 lần ngửa: C(3,2) = 3 và 2³ = 8, nên xác suất là 3/8, tức 37,5%. Công thức chỉ đúng khi đồng xu cân đối đồng chất và các lần tung độc lập, đúng như giả thiết quen thuộc trong đề bài Toán.
Không gian mẫu khi tung 2 và 3 lần
Tung đồng xu 2 lần có không gian mẫu gồm 4 phần tử: SS, SN, NS, NN; tung 3 lần có 8 phần tử: SSS, SSN, SNS, SNN, NSS, NSN, NNS, NNN, với S là sấp, N là ngửa. Với đồng xu cân đối đồng chất, mỗi phần tử có cùng xác suất, lần lượt là 1/4 và 1/8. Từ đó chỉ việc đếm: tung 3 lần, có 3 phần tử chứa đúng 2 chữ N nên xác suất đúng 2 lần ngửa là 3/8 (37,5%); chỉ NNN là cả 3 lần ngửa (12,5%). Ít nhất 1 lần ngửa là 7/8 (87,5%) khi tung 3 lần và 75% khi tung 2 lần.
Tung nhiều đồng xu cùng lúc
Tung nhiều đồng xu cùng lúc cho xác suất giống hệt tung một đồng xu nhiều lần, miễn là các đồng xu cân đối và không ảnh hưởng lẫn nhau. Tung 3 đồng xu một lần vẫn có 8 kết quả như tung 1 đồng xu 3 lần. Mẹo làm bài là đánh số các đồng xu (đồng thứ nhất, thứ hai, thứ ba) để không bỏ sót những trường hợp như SNN, NSN, NNS. Vì vậy bài toán xác suất tung 2 đồng xu hay tung 3 đồng xu đều giải bằng cùng công thức C(n,k) / 2ⁿ, với n là số đồng xu.
Xác suất cùng mặt liên tiếp
Xác suất ra cùng một mặt định trước k lần liên tiếp là (1/2)ᵏ: 2 lần là 25%, 3 lần là 12,5%, 5 lần là 3,13% và 10 lần là 0,098%, tức 1 trên 1.024. Nếu không định trước là sấp hay ngửa, chỉ cần các lần sau giống lần đầu, xác suất gấp đôi: 1 trên 2 với 2 lần, 1 trên 4 với 3 lần, 1 trên 16 với 5 lần và 1 trên 512 với 10 lần. Đề bài hay gài đúng chỗ này, nên hãy đọc kỹ xem đề hỏi "ngửa liên tiếp" hay "cùng một mặt liên tiếp" trước khi tính.
Tung 100 lần
Tung đồng xu 100 lần, số lần ngửa thường quanh quẩn gần 50 nhưng rất hiếm khi đúng 50. Xác suất được đúng 50 lần ngửa chỉ là 7,96%. Khả năng ra từ 45 đến 55 lần ngửa là 72,87%, và từ 40 đến 60 lần là 96,48%. Ra đúng 40 lần (hoặc đúng 60 lần) ngửa chỉ có 1,08%. Những con số này tính bằng cùng công thức C(100,k) / 2¹⁰⁰, rồi cộng dồn qua từng giá trị k. Nếu muốn tự thấy, bạn có thể tung đồng xu 100 lần cùng lúc trên FlipACoin rồi so với bảng.
Đồng xu không có trí nhớ (biến cố độc lập)
Đồng xu không có trí nhớ: kết quả các lần trước không làm thay đổi lần tung tiếp theo, nên lần nào cũng là 50% sấp, 50% ngửa. Trong Toán học, các lần tung là những biến cố độc lập. Sau 4 lần ngửa liền, nhiều người tin rằng "lần này chắc chắn ra sấp", nhưng đồng xu không biết chuyện đó. Lần thứ năm vẫn là 50%. Cái hiếm là cả chuỗi 5 lần ngửa liên tiếp (1 trên 32), chứ không phải riêng lần cuối. Hiểu điều này giúp bạn tránh bẫy trong bài tập và cả trong những lần tung đồng xu thường ngày.
Bài tập mẫu có lời giải
Bài tập: Tung một đồng xu cân đối đồng chất 3 lần liên tiếp. Tính xác suất để có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa. Lời giải: Không gian mẫu có 2³ = 8 phần tử. Biến cố đối là "không có lần nào ngửa", chỉ gồm một phần tử SSS, có xác suất 1/8. Vậy xác suất cần tìm là 1 trừ 1/8, bằng 7/8, tức 87,5%. Bài tương tự với 10 lần tung: biến cố đối có xác suất 1/1.024, nên đáp số là 99,90%. Dùng biến cố đối như vậy nhanh hơn nhiều so với liệt kê từng trường hợp.
Xác suất được đúng k lần ngửa khi tung n lần
| Số lần ngửa | 3 lần | 5 lần | 10 lần |
|---|---|---|---|
| 0 | 12,5% | 3,13% | 0,10% |
| 1 | 37,5% | 15,63% | 0,98% |
| 2 | 37,5% | 31,25% | 4,39% |
| 3 | 12,5% | 31,25% | 11,72% |
| 4 | 0% | 15,63% | 20,51% |
| 5 | 0% | 3,13% | 24,61% |
| 6 | 0% | 0% | 20,51% |
| 7 | 0% | 0% | 11,72% |
| 8 | 0% | 0% | 4,39% |
| 9 | 0% | 0% | 0,98% |
| 10 | 0% | 0% | 0,10% |
Cùng một mặt k lần liên tiếp
| k | Mặt định trước (ví dụ ngửa) | Mặt bất kỳ (tính từ lần đầu) |
|---|---|---|
| 2 | 1 trên 4 (25%) | 1 trên 2 |
| 3 | 1 trên 8 (12,5%) | 1 trên 4 |
| 5 | 1 trên 32 (3,13%) | 1 trên 16 |
| 10 | 1 trên 1.024 (0,098%) | 1 trên 512 |
| 15 | 1 trên 32.768 | 1 trên 16.384 |
| 20 | 1 trên 1.048.576 | 1 trên 524.288 |
Tung 100 lần, thế nào là bình thường
| Kết quả | Xác suất |
|---|---|
| Đúng 50 lần ngửa | 7,96% |
| Từ 45 đến 55 lần ngửa | 72,87% |
| Từ 40 đến 60 lần ngửa | 96,48% |
| Đúng 40 (hoặc đúng 60) lần ngửa | 1,08% |
Chuỗi cùng mặt dài nhất trong 100 lần tung
| Chuỗi ít nhất… | Xác suất |
|---|---|
| 5 | 97,2% |
| 6 | 80,7% |
| 7 | 54,2% |
| 8 | 31,5% |
| 10 | 8,7% |
Ít nhất 1 lần ngửa khi tung n lần
| 2 | 75% |
|---|---|
| 3 | 87,5% |
| 5 | 96,88% |
| 10 | 99,90% |
Câu hỏi thường gặp
Cách tính xác suất tung đồng xu?
Xác suất được đúng k lần ngửa khi tung n lần bằng C(n,k) chia cho 2ⁿ. Ví dụ, tung 3 lần được đúng 2 lần ngửa có xác suất 3/8, tức 37,5%; tung 10 lần được đúng 5 lần ngửa là 24,61%. Mỗi lần tung là độc lập, nên kết quả lần trước không ảnh hưởng đến lần sau.
Tung đồng xu 3 lần, không gian mẫu có bao nhiêu phần tử?
Không gian mẫu có 8 phần tử (2³): SSS, SSN, SNS, SNN, NSS, NSN, NNS, NNN, với S là sấp và N là ngửa. Với đồng xu cân đối đồng chất, mỗi kết quả có xác suất 1/8. Xác suất được đúng 2 lần ngửa là 3/8 (37,5%), còn ít nhất 1 lần ngửa là 7/8 (87,5%).
Tung đồng xu 100 lần thì xác suất thế nào?
Khi tung 100 lần, số lần ngửa thường gần 50 nhưng hiếm khi đúng 50. Xác suất được đúng 50 lần ngửa chỉ khoảng 8%, từ 45 đến 55 lần khoảng 73%, từ 40 đến 60 lần khoảng 96%. Chuỗi trùng mặt cũng bình thường: có 54% khả năng gặp 7 lần cùng mặt liên tiếp ở đâu đó.
Tung 3 đồng xu một lần có khác tung 1 đồng xu 3 lần không?
Không khác về xác suất, nếu các đồng xu cân đối và độc lập. Cả hai cách đều có 8 kết quả như nhau. Xác suất được đúng 2 mặt ngửa là 37,5%, cả 3 mặt ngửa là 12,5%, và ít nhất 1 mặt ngửa là 87,5%. Vì vậy bài toán tung 3 đồng xu một lần giải giống hệt tung 1 đồng xu 3 lần.