동전 던지기 확률 계산기

확률 계산기 (n, k, 정확히/이상/이하)

동전 던지기 확률 계산기는 던지는 횟수 n과 앞면 횟수 k를 넣으면 앞면이 정확히 k번, k번 이상, k번 이하로 나올 확률을 바로 계산해 줍니다. 예를 들어 n에 3, k에 2를 넣고 '정확히'를 고르면 37.5%가 나오고, '이상'으로 바꾸면 앞면 2번과 3번을 더한 50%가 나옵니다. 10번 던져 앞면이 정확히 5번 나올 확률은 24.61%입니다. 숙제나 확률 문제를 풀 때 손으로 계산한 답이 맞는지 확인하는 용도로 쓰기 좋습니다. 계산은 모두 공정한 동전, 즉 앞면과 뒷면이 각각 50%이고 매번 독립이라는 가정을 따릅니다.

공식: 이항분포

동전을 n번 던져 앞면이 정확히 k번 나올 확률은 이항분포 공식 nCk ÷ 2ⁿ으로 구합니다. 2ⁿ은 n번 던질 때 나올 수 있는 모든 경우의 수이고, nCk는 그중 앞면이 k번인 경우의 수, 즉 n개 중 k개를 고르는 조합의 수입니다. 예를 들어 3번 던져 앞면이 2번 나올 확률은 3C2 ÷ 2³ = 3 ÷ 8 = 37.5%입니다. 10번 중 5번이면 252 ÷ 1,024로 24.61%가 됩니다. 이 공식이 성립하려면 매번 앞면 확률이 50%로 같고 각 던지기가 서로 독립이어야 하는데, 공정한 동전은 이 두 조건을 모두 만족합니다.

3번 던질 때 8가지 경우의 수

동전을 3번 던지면 나올 수 있는 결과는 2 × 2 × 2 = 8가지이고, 모두 같은 확률인 12.5%로 나옵니다. 앞면을 '앞', 뒷면을 '뒤'로 적으면 앞앞앞, 앞앞뒤, 앞뒤앞, 앞뒤뒤, 뒤앞앞, 뒤앞뒤, 뒤뒤앞, 뒤뒤뒤입니다. 이 중 앞면이 정확히 2번인 경우는 앞앞뒤, 앞뒤앞, 뒤앞앞의 3가지라서 확률은 3/8, 즉 37.5%입니다. 앞면이 3번 모두 나오는 경우는 1가지뿐이라 12.5%입니다. 앞면이 한 번도 나오지 않는 뒤뒤뒤 하나만 빼면 되므로, 적어도 한 번 앞면이 나올 확률은 7/8, 즉 87.5%가 됩니다.

10번 던질 때 확률 분포

동전을 10번 던지면 앞면 횟수는 0번부터 10번까지 11가지가 될 수 있고, 가운데인 5번이 24.61%로 가장 자주 나옵니다. 그다음은 4번과 6번이 각각 20.51%, 3번과 7번이 각각 11.72%입니다. 양 끝으로 갈수록 확률이 빠르게 줄어서 앞면이 2번 또는 8번인 경우는 4.39%, 1번 또는 9번은 0.98%, 0번이나 10번은 0.10%밖에 되지 않습니다. 그래프로 그리면 가운데가 높고 양쪽이 낮은 종 모양이 됩니다. 눈여겨볼 점은 가장 흔한 결과인 '정확히 5번'조차 네 번에 한 번 정도밖에 나오지 않는다는 것입니다.

연속으로 나올 확률

정해 둔 한쪽 면, 예를 들어 앞면이 k번 연속 나올 확률은 (1/2)ᵏ입니다. 2번 연속은 25%(4분의 1), 3번 연속은 12.5%(8분의 1), 5번 연속은 3.13%(32분의 1), 10번 연속은 0.098%(1,024분의 1)입니다. 반면 어느 면이든 상관없이 첫 번째부터 같은 면이 이어지기만 하면 된다면 확률이 두 배가 됩니다. 첫 결과는 무엇이든 괜찮고 그다음부터만 맞으면 되기 때문입니다. 그래서 2번 연속은 2분의 1, 3번은 4분의 1, 5번은 16분의 1, 10번은 512분의 1입니다. 문제를 풀 때는 '앞면이 연속'인지 '같은 면이 연속'인지부터 확인하세요.

100번 던지면?

동전을 100번 던지면 앞면은 대개 50번 근처에 모이지만, 정확히 50번이 나올 확률은 7.96%에 불과합니다. 앞면이 45번에서 55번 사이일 확률은 72.87%, 40번에서 60번 사이일 확률은 96.48%입니다. 정확히 40번이나 정확히 60번이 나올 확률은 각각 1.08%로 드물지만 불가능한 일은 아닙니다. 던지는 횟수가 늘수록 앞면 비율은 50%에 가까워지지만, 그렇다고 매번 딱 절반이 나오는 것은 아닙니다. 그래서 100번 중 앞면 53번, 뒷면 47번 같은 결과는 지극히 정상입니다. 직접 확인하고 싶다면 100번 던지기 시뮬레이션을 몇 번 돌려 보세요.

동전은 기억하지 않는다 (독립 시행)

동전은 이전 결과를 기억하지 않기 때문에, 앞면이 다섯 번 연속 나온 뒤에도 다음에 앞면이 나올 확률은 그대로 50%입니다. 확률에서는 이것을 독립 시행이라고 부르며, 앞의 결과가 뒤의 결과에 아무 영향을 주지 않는다는 뜻입니다. 많은 사람이 '이번엔 뒷면이 나올 차례'라고 느끼지만, 이것은 아주 흔한 착각입니다. 연속이 길어질수록 반대쪽이 나올 것 같은 기분이 들어도, 동전에는 균형을 맞추는 장치가 없습니다. 앞면 5번 연속이 3.13%로 드문 것은 던지기 전에 다섯 번을 모두 맞힐 때의 이야기입니다. 이미 나온 결과는 다음 던지기와 아무 상관이 없습니다.

예제 문제 풀이

예제 1: 동전을 3번 던질 때 앞면이 적어도 한 번 나올 확률은? 앞면이 한 번도 안 나오는 경우(뒤뒤뒤)의 확률 1/8을 1에서 빼면 7/8, 즉 87.5%입니다. 예제 2: 동전을 2번 던질 때 적어도 한 번 앞면이 나올 확률은? 같은 방법으로 1에서 1/4을 빼면 3/4, 즉 75%입니다. 예제 3: 10번 던질 때 적어도 한 번 앞면이 나올 확률은 1에서 1/1,024를 빼서 99.90%입니다. 예제 4: 5번 던져 앞면이 정확히 3번 나올 확률은 5C3 ÷ 2⁵ = 10 ÷ 32 = 31.25%입니다. '적어도 한 번' 문제는 반대 경우를 빼는 여사건 방법이 가장 빠릅니다.

n번 던져 앞면이 정확히 k번 나올 확률

같은 면이 k번 연속 나올 확률

100번 던질 때 정상 범위

100번 중 어딘가에서 같은 면이 이어질 확률

n번 중 적어도 한 번 앞면이 나올 확률