Probabilité Pile ou Face
La probabilité d'obtenir exactement k piles en n lancers d'une pièce équilibrée est C(n,k) ÷ 2ⁿ ; par exemple, exactement 5 piles sur 10 lancers donne 24,61 %, et 3 piles de suite 12,5 %.
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Calculateur (n, k, « exactement / au moins / au plus »)
Le calculateur donne en un clic la probabilité d'obtenir k piles en n lancers. Entrez le nombre de lancers n, le nombre de piles k, puis choisissez « exactement », « au moins » ou « au plus ». Par exemple, exactement 5 piles sur 10 lancers donne 24,61 %, et au moins un pile sur 10 lancers 99,90 %. C'est pratique pour vérifier un exercice de probabilité pile ou face, ou pour savoir si une série qui vous semble étrange l'est vraiment. Les résultats supposent une pièce équilibrée et des lancers indépendants.
La formule (loi binomiale)
La probabilité d'obtenir exactement k piles en n lancers se calcule avec la loi binomiale : P = C(n,k) / 2ⁿ. Le dénominateur 2ⁿ compte toutes les suites possibles de piles et de faces, toutes aussi probables. Le coefficient C(n,k), qu'on lit « k parmi n », compte celles qui contiennent exactement k piles. Exemple avec 3 lancers : 2³ = 8 suites, dont 3 avec exactement 2 piles, soit 3/8 = 37,5 %. Pour « au moins k piles », on additionne les probabilités de k jusqu'à n. Le calculateur fait ces additions à votre place.
Pile ou face en 3 lancers : les 8 issues
En 3 lancers, il existe 8 issues équiprobables : PPP, PPF, PFP, FPP, PFF, FPF, FFP et FFF (P pour pile, F pour face). Chacune a une probabilité de 1 sur 8, soit 12,5 %. Trois piles n'arrivent donc qu'une fois sur 8. Exactement deux piles regroupe trois issues, soit 37,5 %, tout comme exactement un pile. Au moins un pile, c'est tout sauf FFF : 7 sur 8, donc 87,5 %. Cet arbre à 8 branches est le point de départ de la plupart des exercices de probabilité pile ou face en 3 lancers.
4 et 10 lancers
Avec 4 lancers, il y a 2⁴ = 16 suites possibles. La probabilité d'obtenir exactement 2 piles vaut C(4,2)/16 = 6/16, soit 37,5 % ; exactement 1 ou exactement 3 piles, 4/16 chacun, soit 25 % ; zéro ou quatre piles, 1/16, soit 6,25 %. Avec 10 lancers, on passe à 1 024 suites. Le résultat le plus probable est exactement 5 piles, à 24,61 %, suivi de 4 ou 6 piles, à 20,51 % chacun. Dix piles de suite n'arrivent qu'une fois sur 1 024, et au moins un pile en 10 lancers atteint 99,90 %.
Séries : k fois de suite
La probabilité d'obtenir un côté précis k fois de suite est de 1 sur 2 puissance k. Deux piles de suite, c'est 1 sur 4 (25 %), trois 1 sur 8 (12,5 %), cinq 1 sur 32 (3,13 %) et dix 1 sur 1 024 (0,098 %). Si n'importe quel côté vous convient, compté à partir du premier lancer, les chances doublent : 1 sur 2 pour deux résultats identiques, 1 sur 4 pour trois, 1 sur 16 pour cinq et 1 sur 512 pour dix. Le premier lancer fixe simplement le côté qui doit se répéter.
100 lancers : ce qui est normal
Sur 100 lancers, un score entre 45 et 55 piles est normal : il arrive dans 72,87 % des cas. Entre 40 et 60 piles, on monte à 96,48 %. Exactement 50 piles, en revanche, ne tombe que 7,96 % du temps, et exactement 40 ou exactement 60 piles 1,08 % chacun. Les longues séries font aussi partie du jeu : une série d'au moins 6 résultats identiques apparaît dans 80,7 % des suites de 100 lancers, et d'au moins 7 dans 54,2 %. Un 57 contre 43 ou six faces d'affilée ne prouvent donc rien.
La pièce n'a pas de mémoire
Une pièce n'a pas de mémoire : après cinq piles de suite, le lancer suivant a toujours 50 % de chances de donner pile. Penser que face « doit » sortir pour rattraper le retard est un piège de raisonnement très répandu. Chaque lancer est indépendant du précédent, et la pièce ignore tout de ce qui s'est passé avant. L'équilibre à 50/50 n'apparaît que sur un très grand nombre de lancers, parce que les écarts se diluent, pas parce qu'ils se corrigent. Cinq piles de suite sont aussi probables que n'importe quelle autre suite précise de cinq lancers : 1 sur 32.
Not: AC'deki "exercice pile ou face probabilité" okul ödevi niyetini gösterir; H2 4'te 4 lancer örneği (Tablo A'ya ek satır gerekmez, metin içinde C(4,k)/16) eklenebilir.
exactement k piles en n lancers
| Piles | 3 lancers | 5 lancers | 10 lancers |
|---|---|---|---|
| 0 | 12,5 % | 3,13 % | 0,10 % |
| 1 | 37,5 % | 15,63 % | 0,98 % |
| 2 | 37,5 % | 31,25 % | 4,39 % |
| 3 | 12,5 % | 31,25 % | 11,72 % |
| 4 | 15,63 % | 20,51 % | |
| 5 | 3,13 % | 24,61 % | |
| 6 | 20,51 % | ||
| 7 | 11,72 % | ||
| 8 | 4,39 % | ||
| 9 | 0,98 % | ||
| 10 | 0,10 % |
le même côté k fois de suite
| k | Un côté précis (ex. pile) | N'importe quel côté, à partir du 1er lancer |
|---|---|---|
| 2 | 1 sur 4 (25 %) | 1 sur 2 |
| 3 | 1 sur 8 (12,5 %) | 1 sur 4 |
| 5 | 1 sur 32 (3,13 %) | 1 sur 16 |
| 10 | 1 sur 1 024 (0,098 %) | 1 sur 512 |
| 15 | 1 sur 32 768 | 1 sur 16 384 |
| 20 | 1 sur 1 048 576 | 1 sur 524 288 |
100 lancers, ce qui est normal
| Résultat | Probabilité |
|---|---|
| Exactement 50 piles | 7,96 % |
| Entre 45 et 55 piles | 72,87 % |
| Entre 40 et 60 piles | 96,48 % |
| Exactement 40 (ou exactement 60) piles | 1,08 % |
plus longue série quelque part sur 100 lancers
| Une série d'au moins… | Probabilité |
|---|---|
| 5 | 97,2 % |
| 6 | 80,7 % |
| 7 | 54,2 % |
| 8 | 31,5 % |
| 10 | 8,7 % |
au moins un pile en n lancers
| 2 | 75 % |
|---|---|
| 3 | 87,5 % |
| 5 | 96,88 % |
| 10 | 99,90 % |
FAQ
Quelle est la probabilité d'obtenir pile 3 fois de suite ?
C'est 1 sur 8, soit 12,5 %. Chaque lancer est indépendant avec une chance sur deux, donc trois piles de suite donnent 1/2 × 1/2 × 1/2. Sur 3 lancers, la probabilité d'obtenir exactement 2 piles est de 37,5 %, et celle d'obtenir au moins un pile de 87,5 %. Cinq piles de suite, c'est 1 sur 32, et dix de suite 1 sur 1 024.
Que se passe-t-il si l'on joue à pile ou face 100 fois ?
On obtient généralement près de 50 piles, mais rarement 50 tout rond. La probabilité d'exactement 50 piles sur 100 lancers est d'environ 8 %. Celle d'obtenir entre 45 et 55 piles est d'environ 73 %, et entre 40 et 60 d'environ 96 %. Les séries sont normales aussi : il y a 54 % de chances de voir au moins sept résultats identiques d'affilée quelque part.