Calculadora de probabilidad de cara o cruz
La probabilidad de sacar exactamente k caras en n lanzamientos de una moneda justa es C(n,k) ÷ 2ⁿ; por ejemplo, 5 caras en 10 lanzamientos es un 24.61 % y 3 seguidas, un 12.5 %.
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Calculadora (n, k, "exactamente / al menos / como máximo")
Con la calculadora sabes la probabilidad de que salga cierto número de caras, o de águilas, en una serie de lanzamientos. Pones cuántas veces lanzas la moneda (n), cuántas veces quieres que salga tu lado (k) y eliges si te interesa exactamente k, al menos k o como máximo k. Un ejemplo: exactamente 5 caras en 10 lanzamientos da 24.61 %, y al menos una cara en 10 lanzamientos, 99.90 %. Te sirve para la tarea de probabilidad, para saber si una racha es rara o para cerrar una discusión con tus cuates. Todo se calcula con la fórmula binomial.
La fórmula (binomial)
La probabilidad de que salgan exactamente k caras en n lanzamientos de una moneda justa es C(n,k) / 2ⁿ. El denominador, 2ⁿ, es el total de secuencias posibles de los dos lados, y todas son igual de probables. C(n,k), la combinación de n en k, cuenta cuántas de esas secuencias tienen justo k caras. Con 10 lanzamientos hay 1,024 secuencias y 252 tienen exactamente 5 caras, así que la probabilidad es 252 / 1,024, o sea 24.61 %. Para «al menos k» o «como máximo k» solo sumas los casos que te sirven. Todo esto funciona porque cada lanzamiento es independiente.
Lanzar una moneda 3 veces: los 8 resultados
Si lanzas una moneda 3 veces hay 8 resultados posibles, todos igual de probables. Usando A para águila y S para sol: AAA, AAS, ASA, SAA, ASS, SAS, SSA y SSS. Contarlos resuelve casi cualquier pregunta de examen. Tres águilas aparecen en un solo caso de ocho, 12.5 %. Exactamente dos águilas aparecen en tres casos, 37.5 %, igual que exactamente una. Al menos un águila sale en siete de los ocho casos, 87.5 %, porque el único sin águila es SSS. Si en vez de tres lanzas dos veces, la probabilidad de al menos un águila queda en 75 %.
Tabla de 10 lanzamientos
La tabla de 10 lanzamientos te da la probabilidad de cada número de caras, de 0 a 10. Lo más probable es que salgan 5, con 24.61 %, aunque eso pasa menos de una vez de cada cuatro. Después vienen 4 y 6 caras, con 20.51 % cada una, y 3 y 7, con 11.72 %. Los extremos casi no se ven: 0 o 10 caras andan por el 0.10 % cada uno, y 1 o 9 caras, por el 0.98 %. La tabla es simétrica porque los dos lados valen lo mismo, así que funciona igual si cuentas soles en lugar de águilas.
Rachas
La probabilidad de que salga el mismo lado elegido k veces seguidas es 1 entre 2 elevado a k. Dos águilas seguidas: 1 entre 4 (25 %). Tres: 1 entre 8 (12.5 %). Cinco: 1 entre 32 (3.13 %). Diez: 1 entre 1,024 (0.098 %). Si no te importa el lado y solo quieres que todos los lanzamientos repitan el primero, la probabilidad se duplica: 1 entre 2 para dos seguidas, 1 entre 4 para tres, 1 entre 16 para cinco y 1 entre 512 para diez. Cuidado con un detalle: esto aplica a una racha que arranca en el primer lanzamiento, no a encontrar una en cualquier parte de una serie larga.
100 lanzamientos
En 100 lanzamientos lo normal es quedar cerca de 50 caras, pero casi nunca exactamente en 50. Que salgan justo 50 tiene una probabilidad de 7.96 %. Que salgan entre 45 y 55 pasa el 72.87 % de las veces, y entre 40 y 60, el 96.48 %. Exactamente 40, o exactamente 60, tiene 1.08 %. Las rachas largas también son parte del paisaje: hay 80.7 % de probabilidad de ver al menos 6 resultados iguales seguidos y 54.2 % de ver al menos 7. Si tus 100 volados se parecen a esto, la moneda está haciendo bien su trabajo.
La moneda no tiene memoria
La moneda no tiene memoria: cada lanzamiento es independiente y vuelve a ser 50 % águila y 50 % sol, sin importar lo que salió antes. Después de cinco soles seguidos mucha gente siente que «ya le toca» al águila, pero la moneda no lleva la cuenta. Lo que sí es poco probable es ver esos cinco soles antes de empezar: 3.13 %. Pero una vez que ya salieron, el sexto volado sigue siendo 50/50. Es uno de los errores de intuición más comunes, y también aplica en FlipACoin: un resultado nunca influye en el siguiente.
Exactamente k caras en n lanzamientos
| Caras | 3 lanzamientos | 5 lanzamientos | 10 lanzamientos |
|---|---|---|---|
| 0 | 12.5 % | 3.13 % | 0.10 % |
| 1 | 37.5 % | 15.63 % | 0.98 % |
| 2 | 37.5 % | 31.25 % | 4.39 % |
| 3 | 12.5 % | 31.25 % | 11.72 % |
| 4 | 15.63 % | 20.51 % | |
| 5 | 3.13 % | 24.61 % | |
| 6 | 20.51 % | ||
| 7 | 11.72 % | ||
| 8 | 4.39 % | ||
| 9 | 0.98 % | ||
| 10 | 0.10 % |
El mismo lado k veces seguidas
| k | Un lado concreto (p. ej., águila) | Cualquier lado, contando desde el primer lanzamiento |
|---|---|---|
| 2 | 1 entre 4 (25 %) | 1 entre 2 |
| 3 | 1 entre 8 (12.5 %) | 1 entre 4 |
| 5 | 1 entre 32 (3.13 %) | 1 entre 16 |
| 10 | 1 entre 1,024 (0.098 %) | 1 entre 512 |
| 15 | 1 entre 32,768 | 1 entre 16,384 |
| 20 | 1 entre 1,048,576 | 1 entre 524,288 |
100 lanzamientos: qué es normal
| Resultado | Probabilidad |
|---|---|
| Exactamente 50 caras | 7.96 % |
| Entre 45 y 55 caras | 72.87 % |
| Entre 40 y 60 caras | 96.48 % |
| Exactamente 40 (o exactamente 60) caras | 1.08 % |
Racha más larga en algún punto de 100 lanzamientos
| Una racha de al menos… | Probabilidad |
|---|---|
| 5 | 97.2 % |
| 6 | 80.7 % |
| 7 | 54.2 % |
| 8 | 31.5 % |
| 10 | 8.7 % |
Al menos una cara en n lanzamientos
| 2 | 75 % |
|---|---|
| 3 | 87.5 % |
| 5 | 96.88 % |
| 10 | 99.90 % |
Preguntas frecuentes
Al lanzar una moneda, ¿cuál es la probabilidad de que caiga águila?
La probabilidad de que caiga águila es 1/2, es decir, un 50 %, igual que la de sol. Cada lanzamiento es independiente: la moneda no tiene memoria, así que haber sacado sol cinco veces seguidas no hace más probable el águila en el siguiente. Con dos lanzamientos, la probabilidad de sacar al menos un águila es del 75 %; con tres, del 87.5 %.
¿Qué probabilidad hay de que salga águila 3 veces seguidas?
Es de 1 entre 8, o sea, un 12.5 %. Cada lanzamiento es independiente y tiene una probabilidad de 1/2, así que tres águilas seguidas son 1/2 × 1/2 × 1/2. Si lanzas una moneda 3 veces, la probabilidad de sacar exactamente 2 águilas es del 37.5 % y la de sacar al menos una, del 87.5 %. Cinco seguidas es 1 entre 32, y diez seguidas, 1 entre 1,024.
¿Qué pasa si lanzas una moneda 100 veces?
Lo normal es obtener cerca de 50 caras, pero pocas veces exactamente 50. La probabilidad de sacar exactamente 50 caras en 100 lanzamientos ronda el 8 %. La de obtener entre 45 y 55 caras ronda el 73 %, y entre 40 y 60, el 96 %. Las rachas también son normales: hay un 54 % de probabilidad de ver siete o más resultados iguales seguidos en algún momento.