コイントスの確率計算

確率計算ツール（n, k, ちょうど／以上／以下）

このコイントス確率計算ツールでは、投げる回数nと表の回数kを入れるだけで、表が「ちょうどk回」「k回以上」「k回以下」出る確率を計算できます。たとえばn＝10、k＝5で「ちょうど」を選ぶと24.61%、n＝3、k＝1で「以上」を選ぶと、少なくとも1回表が出る確率の87.5%が表示されます。計算は二項分布にもとづいていて、ページ下の早見表と同じ数字になります。宿題の答え合わせや、自分の計算の確認にも使えます。

計算式（二項分布）

コイントスでn回中ちょうどk回表が出る確率は、「nCk ÷ 2のn乗」で計算します。nCkはn回の中から表になるk回を選ぶ組み合わせの数で、2のn乗は起こりうる結果の総数です。3回投げて表が2回なら、組み合わせは3通り、全体は8通りなので3÷8で37.5%。10回で表がちょうど5回なら252÷1,024で24.61%です。各回の確率が2分の1で、1回1回が互いに影響しないことが前提です。

3回投げたときの全8通り

コインを3回投げると、結果は全部で8通りあり、どれも同じ8分の1の確率で起こります。並べると、表表表、表表裏、表裏表、裏表表、表裏裏、裏表裏、裏裏表、裏裏裏です。表がちょうど2回になるのは3通りで37.5%、3回とも表は1通りで12.5%。少なくとも1回表が出る確率は、裏裏裏以外の7通りなので87.5%になります。小さな例ですが、二項分布の考え方がそのまま見えます。

10回の確率分布

10回コイントスしたとき、いちばん出やすいのは表5回で、その確率は24.61%です。表4回と6回はどちらも20.51%、3回と7回は11.72%、2回と8回は4.39%で、5回を中心に左右対称の山の形になります。0回や10回はそれぞれ0.10%しかありません。つまり10回投げても、表がぴったり5回になるのは4回に1回程度です。6対4や7対3になっても、まったく普通の結果です。

連続で出る確率

決めた面（たとえば表）がk回連続で出る確率は、2分の1をk回かけた値です。2回連続は4分の1（25%）、3回連続は8分の1（12.5%）、5回連続は32分の1（3.13%）、10回連続は1,024分の1（0.098%）になります。面を決めずに「1回目から同じ面が続く」確率なら、その2倍です。2回なら2分の1、3回なら4分の1、5回なら16分の1、10回なら512分の1です。

100回投げると？（収束）

コイントスを100回投げると、表の割合は50%に近づきますが、ぴったり50回になるとは限りません。表がちょうど50回になる確率は7.96%、45回から55回なら72.87%、40回から60回なら96.48%です。回数を増やすほど割合は50%に収束していきます。これが大数の法則です。ただし、収束するのは割合であって、表と裏の回数の差が必ず縮むわけではありません。

コインに記憶はない（独立試行）

コインは前の結果を覚えていないので、何回裏が続いても次に表が出る確率は50%のままです。5回連続で裏が出たあとでも、6回目に表が出る確率は2分の1。「そろそろ表が来るはず」と感じるのは自然ですが、コインには流れも貸し借りもありません。1回1回が独立した試行なので、過去の結果から次を予想することはできません。長く投げると割合が50%に近づくのは、過去の偏りが取り返されるからではなく、新しい結果がどんどん積み重なるからです。

表A：n回投げて表がちょうどk回出る確率

表B：同じ面がk回連続で出る確率

表C：100回投げたときの普通の結果

表D：100回のうちどこかで同じ面が続く確率

表F：n回のうち少なくとも1回表が出る確率