Calculadora de probabilidad de cara o cruz
La probabilidad de sacar exactamente k caras en n lanzamientos de una moneda justa es C(n,k) ÷ 2ⁿ; por ejemplo, 5 caras en 10 lanzamientos es un 24,61 % y 3 caras seguidas, un 12,5 %.
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Calculadora (n, k, "exactamente / al menos / como máximo")
La calculadora te da la probabilidad de sacar un número concreto de caras en una serie de lanzamientos. Escribe cuántas veces lanzas la moneda (n) y cuántas caras te interesan (k), y elige si quieres exactamente k, al menos k o como máximo k. Por ejemplo, exactamente 5 caras en 10 lanzamientos da un 24,61 %, y al menos una cara en 10 lanzamientos, un 99,90 %. Sirve para los deberes de probabilidad, para saber si una racha es rara de verdad o simplemente por curiosidad. Los números salen de la fórmula binomial y valen igual para cara que para cruz.
La fórmula (binomial)
La probabilidad de sacar exactamente k caras en n lanzamientos de una moneda justa es C(n,k) / 2ⁿ. El número 2ⁿ cuenta todas las secuencias posibles de caras y cruces, que son igual de probables. C(n,k), el número combinatorio «n sobre k», cuenta cuántas de esas secuencias tienen justo k caras. Con 10 lanzamientos hay 1.024 secuencias, y 252 de ellas tienen 5 caras, así que la probabilidad es 252 / 1.024, un 24,61 %. Para «al menos k» o «como máximo k» basta con sumar los casos que te interesan. Todo funciona porque cada lanzamiento es independiente y da un 50 % a cada lado.
Lanzar una moneda 3 veces: los 8 resultados
Al lanzar una moneda 3 veces hay 8 resultados posibles, todos con la misma probabilidad: CCC, CCX, CXC, XCC, CXX, XCX, XXC y XXX, donde C es cara y X es cruz. Contándolos se resuelven casi todas las preguntas típicas de clase. Tres caras solo aparecen en uno de los ocho casos, un 12,5 %. Exactamente dos caras aparecen en tres casos, un 37,5 %, y lo mismo pasa con exactamente una. Al menos una cara sale en siete de ocho, un 87,5 %, porque el único caso sin cara es XXX. Con solo 2 lanzamientos, la probabilidad de al menos una cara baja al 75 %.
Tabla de 10 lanzamientos
La tabla de 10 lanzamientos muestra la probabilidad de cada número de caras, de 0 a 10. El resultado más probable es 5 caras, con un 24,61 %, y aun así ocurre menos de una vez de cada cuatro. Le siguen 4 y 6 caras, con un 20,51 % cada una, y 3 y 7, con un 11,72 %. Los extremos son raros: 0 o 10 caras rondan el 0,10 % cada uno, y 1 o 9 caras, el 0,98 %. La tabla es simétrica porque cara y cruz valen lo mismo. Si en el examen te preguntan por 7 caras en 10 lanzamientos, la respuesta está ahí.
Rachas: k veces seguidas
La probabilidad de sacar un lado concreto k veces seguidas es 1 entre 2 elevado a k. Dos caras seguidas son 1 entre 4 (25 %), tres son 1 entre 8 (12,5 %), cinco son 1 entre 32 (3,13 %) y diez son 1 entre 1.024 (0,098 %). Si te da igual el lado y solo quieres que todos coincidan con el primero, la probabilidad se duplica: 1 entre 2 para dos seguidas, 1 entre 4 para tres, 1 entre 16 para cinco y 1 entre 512 para diez. Ojo: esto vale para una racha que empieza en el primer lanzamiento, no para encontrar una en cualquier punto de una serie larga.
100 lanzamientos: qué es normal
En 100 lanzamientos lo normal es acabar cerca de 50 caras, pero casi nunca en 50 exactas. Clavar las 50 tiene una probabilidad del 7,96 %. Quedarse entre 45 y 55 caras ocurre el 72,87 % de las veces, y entre 40 y 60, el 96,48 %. Sacar exactamente 40, o exactamente 60, tiene un 1,08 %. Las rachas largas también entran en lo normal: hay un 80,7 % de probabilidad de ver al menos 6 resultados iguales seguidos y un 54,2 % de ver al menos 7. Si tu serie de 100 se parece a esto, la moneda está funcionando como debe.
La moneda no tiene memoria
La moneda no tiene memoria: cada lanzamiento es independiente y vuelve a ser 50 % cara y 50 % cruz, pase lo que pase antes. Después de cinco cruces seguidas mucha gente siente que «ya toca» cara, pero la moneda no sabe lo que ha salido. Lo que sí es poco probable es la secuencia entera vista desde el principio: cinco cruces seguidas tienen un 3,13 % antes de empezar. Pero una vez que ya han salido, la sexta tirada sigue siendo 50/50. Es uno de los errores de intuición más comunes, y en FlipACoin pasa lo mismo: un resultado nunca influye en el siguiente.
Exactamente k caras en n lanzamientos
| Caras | 3 lanzamientos | 5 lanzamientos | 10 lanzamientos |
|---|---|---|---|
| 0 | 12,5 % | 3,13 % | 0,10 % |
| 1 | 37,5 % | 15,63 % | 0,98 % |
| 2 | 37,5 % | 31,25 % | 4,39 % |
| 3 | 12,5 % | 31,25 % | 11,72 % |
| 4 | 15,63 % | 20,51 % | |
| 5 | 3,13 % | 24,61 % | |
| 6 | 20,51 % | ||
| 7 | 11,72 % | ||
| 8 | 4,39 % | ||
| 9 | 0,98 % | ||
| 10 | 0,10 % |
El mismo lado k veces seguidas
| k | Un lado concreto (p. ej., cara) | Cualquier lado, contando desde el primer lanzamiento |
|---|---|---|
| 2 | 1 entre 4 (25 %) | 1 entre 2 |
| 3 | 1 entre 8 (12,5 %) | 1 entre 4 |
| 5 | 1 entre 32 (3,13 %) | 1 entre 16 |
| 10 | 1 entre 1.024 (0,098 %) | 1 entre 512 |
| 15 | 1 entre 32.768 | 1 entre 16.384 |
| 20 | 1 entre 1.048.576 | 1 entre 524.288 |
100 lanzamientos: qué es normal
| Resultado | Probabilidad |
|---|---|
| Exactamente 50 caras | 7,96 % |
| Entre 45 y 55 caras | 72,87 % |
| Entre 40 y 60 caras | 96,48 % |
| Exactamente 40 (o exactamente 60) caras | 1,08 % |
Racha más larga en algún punto de 100 lanzamientos
| Una racha de al menos… | Probabilidad |
|---|---|
| 5 | 97,2 % |
| 6 | 80,7 % |
| 7 | 54,2 % |
| 8 | 31,5 % |
| 10 | 8,7 % |
Al menos una cara en n lanzamientos
| 2 | 75 % |
|---|---|
| 3 | 87,5 % |
| 5 | 96,88 % |
| 10 | 99,90 % |
Preguntas frecuentes
Al lanzar una moneda, ¿qué probabilidad hay de obtener cara?
La probabilidad de obtener cara es 1/2, es decir, un 50 %, igual que la de obtener cruz. Cada lanzamiento es independiente: la moneda no tiene memoria, así que haber sacado cruz cinco veces seguidas no hace más probable la cara en el siguiente. Con dos lanzamientos, la probabilidad de sacar al menos una cara es del 75 %; con tres, del 87,5 %.
¿Qué probabilidad hay de sacar cara 3 veces seguidas?
Es de 1 entre 8, o sea, un 12,5 %. Cada lanzamiento es independiente y tiene una probabilidad de 1/2, así que tres caras seguidas son 1/2 × 1/2 × 1/2. Si lanzas una moneda 3 veces, la probabilidad de sacar exactamente 2 caras es del 37,5 % y la de sacar al menos una, del 87,5 %. Cinco caras seguidas es 1 entre 32, y diez seguidas, 1 entre 1.024.
¿Qué pasa si lanzas una moneda 100 veces?
Lo normal es obtener cerca de 50 caras, pero pocas veces exactamente 50. La probabilidad de sacar exactamente 50 caras en 100 lanzamientos ronda el 8 %. La de obtener entre 45 y 55 caras ronda el 73 %, y entre 40 y 60, el 96 %. Las rachas también son normales: hay un 54 % de probabilidad de ver siete o más resultados iguales seguidos en algún momento.