동전 던지기 확률은 정말 50%일까?

결론: 앞면 뒷면은 50 대 50

결론부터 말하면, 공정한 동전을 던질 때 앞면과 뒷면이 나올 확률은 각각 50%입니다. 각 던지기는 독립이라서 앞에서 앞면이 몇 번 나왔든 다음 결과에는 영향을 주지 않습니다. 동전에는 기억이 없기 때문입니다. 다만 사람이 손으로 던질 때는 아주 작은 예외가 하나 있습니다. 던지기 전에 위를 향하고 있던 면이 조금 더 자주 나온다는 것입니다. 그 차이는 1%포인트도 되지 않아서 일상에서는 거의 느낄 수 없고, 앞면 자체가 뒷면보다 잘 나온다는 뜻도 아닙니다. 아래에서 실제 실험 결과와 그 이유, 그리고 이 작은 치우침마저 없애는 방법을 차례로 정리했습니다.

같은 면 효과: 50.8% (Bartoš 외 2023)

2023년 바르토시(Bartoš) 연구팀은 손으로 던진 동전 350,757번을 영상으로 기록해 분석했고, 던지기 전에 위를 향한 면이 그대로 나온 비율이 50.8%라는 결과를 얻었습니다. 95% 신뢰구간은 50.6%에서 50.9%로, 작지만 우연으로 보기는 어려운 차이입니다. 반면 앞면과 뒷면의 전체 비율은 50.0%로 차이가 없었습니다. 즉 결과를 아주 조금 움직이는 것은 동전의 앞뒤가 아니라 던지는 순간의 시작 면입니다. 이 연구는 arXiv(2310.04153)에 공개되어 있어 누구나 읽어 볼 수 있습니다. 상대가 시작 면을 볼 수 없게 하면 이 작은 이점도 사실상 사라집니다.

왜 그럴까: 동전의 흔들림 (Diaconis 외 2007)

같은 면이 조금 더 나오는 이유는 동전이 공중에서 똑바로만 뒤집히지 않고 비스듬히 흔들리며 돌기 때문입니다. 2007년 디아코니스(Diaconis), 홈스(Holmes), 몽고메리(Montgomery)는 이 흔들림, 즉 세차 운동을 물리 모델로 계산해 손으로 던진 동전이 시작 면으로 떨어질 확률을 약 51%로 예측했습니다(SIAM Review 49권 2호). 흔들리며 도는 동전은 시작 면이 위를 향하는 시간이 조금 더 길다는 설명입니다. 다만 이것은 실제 측정이 아니라 모델로 계산한 예측이었습니다. 이후 2023년 바르토시 연구팀이 실제로 35만 번 넘게 던져 50.8%를 측정하면서 이 예측이 거의 맞았다는 것이 확인되었습니다.

앞면이 더 잘 나올까?

아닙니다. 앞면이 뒷면보다 더 잘 나온다는 증거는 없습니다. 350,757번의 실제 동전 던지기에서 앞면 비율은 50.0%로 뒷면과 차이가 없었습니다. 한국 동전은 그림이 있는 면이 앞면이고 액면이 적힌 면이 뒷면이라 두 면의 디자인이 다르지만, 던져서 받는 방식에서는 그 차이가 결과를 의미 있게 바꾸지 못합니다. 결과에 영향을 주는 것은 어느 면이 앞면이냐가 아니라 던지기 전에 어느 면이 위를 향했느냐입니다. 그래서 앞면을 외치든 뒷면을 외치든 유리한 쪽은 없습니다. 시작 면을 손으로 가리고 던지면 두 선택은 완전히 같은 조건이 됩니다.

무게를 바꾼 동전은? (Gelman & Nolan 2002)

공중에서 받는 동전 던지기라면 한쪽 무게를 바꾼 동전도 결과를 의미 있게 치우치게 만들 수 없습니다. 통계학자 겔만(Gelman)과 놀런(Nolan)은 2002년 The American Statistician(56권 4호)에 실린 글에서 이 점을 설명했습니다. 동전이 공중에서 빠르게 뒤집히는 동안에는 무게 중심이 한쪽에 쏠려 있어도 앞면과 뒷면이 나오는 비율이 거의 달라지지 않는다는 것입니다. 반대로 탁자 위에서 팽이처럼 돌리면 무게 차이가 결과에 그대로 드러날 수 있습니다. 그러니 상대의 동전이 조금 의심스럽다면 돌리지 말고, 엄지로 튕겨 던진 뒤 받으면 됩니다.

돌리기와 던지기는 다르다

동전을 탁자 위에서 팽이처럼 돌리는 것은 던지는 것과 전혀 다른 방법이고, 훨씬 더 치우치기 쉽습니다. 던진 동전은 공중에서 여러 번 뒤집히지만, 돌리는 동전은 테두리를 축으로 돌다가 속도가 줄면서 한쪽으로 눕습니다. 이때 두 면의 무게 분포에 생긴 작은 차이가 어느 쪽으로 쓰러질지를 크게 좌우할 수 있습니다. 겔만과 놀런도 무게를 바꾼 동전은 던질 때보다 돌릴 때 훨씬 쉽게 치우친다고 지적했습니다. 그러니 친구와 무언가를 정할 때는 탁자 위에서 돌리지 말고, 엄지로 튕겨 공중에서 여러 번 돌게 한 뒤 받거나 바닥에 떨어뜨리세요.

디지털 동전에는 편향이 없는 이유

디지털 동전 던지기에는 손의 힘, 시작 면, 동전의 무게 같은 물리적 요인이 없어서 같은 면 효과도 생기지 않습니다. FlipACoin은 결과를 서버에서 만들고, 던지기 전에 HMAC SHA256 해시로 결과를 미리 약속한 뒤 던지고 나서 시드를 공개합니다. 그래서 결과가 나중에 바뀌지 않았다는 것을 검증 페이지에서 누구나 확인할 수 있습니다. 5분마다 열리는 글로벌 라운드에는 공개 난수 비콘인 drand 값도 함께 섞습니다. 중요한 것은 '믿어 달라'가 아니라 '직접 확인하라'는 점입니다. 공정하다고 말만 하지 않고 검증할 수 있게 만든 것이 디지털 동전 던지기의 가장 큰 장점입니다.

연구 결과