क्या Coin Toss सच में 50/50 है?

छोटा जवाब: head बनाम tail 50/50

हाँ, coin toss में head बनाम tail का मुकाबला 50/50 है: निष्पक्ष सिक्के पर दोनों तरफ़ का मौका बराबर है। 2023 में Bartoš और साथियों ने वीडियो पर रिकॉर्ड किए गए 350,757 असली टॉस गिने, और कुल मिलाकर head और tail ठीक 50.0% पर बराबर रहे। फ़र्क़ सिर्फ़ एक छोटी बात में दिखा: सिक्का उस तरफ़ थोड़ा ज़्यादा गिरता है जो उछालते समय ऊपर थी, लगभग 50.8% बार। अगर किसी को पता ही न हो कि शुरू में कौन सी तरफ़ ऊपर थी, तो यह झुकाव किसी के काम नहीं आता। इसलिए टॉस आज भी फ़ैसले का भरोसेमंद तरीका है।

वही तरफ़ प्रभाव: 50.8% (Bartoš et al. 2023)

Bartoš et al. 2023 के अध्ययन में हाथ से उछाला गया सिक्का 50.8% बार उसी तरफ़ गिरा जो उछालते समय ऊपर थी। यह नतीजा 350,757 टॉस से निकला, जिन्हें वीडियो पर रिकॉर्ड करके गिना गया, और इसका 95% भरोसे का दायरा 50.6 से 50.9% है। मतलब अगर आपने देख लिया कि सिक्का head ऊपर रखकर उछाला गया, तो head बोलने पर आपका मौका 50% से बस ज़रा सा ऊपर है। सौ टॉस में यह लगभग एक टॉस का फ़र्क़ बनता है, जो रोज़ के फ़ैसलों में महसूस भी नहीं होता। पूरा अध्ययन arXiv:2310.04153 पर पढ़ा जा सकता है।

ऐसा क्यों: डगमगाहट (Diaconis et al. 2007)

Diaconis, Holmes और Montgomery ने 2007 में SIAM Review 49(2) में समझाया कि हवा में घूमता सिक्का सिर्फ़ पलटता नहीं, थोड़ा डगमगाता भी है। इस डगमगाहट (precession) की वजह से वह अपनी शुरुआती तरफ़ के पास ज़्यादा समय बिताता है। उनके भौतिकी मॉडल ने अनुमान लगाया कि सिक्का लगभग 51% बार उसी तरफ़ गिरेगा जिससे उछाला गया। ध्यान दें, यह एक अनुमान था, असली टॉस गिनकर नापा गया आँकड़ा नहीं। 2023 में Bartoš और साथियों ने लाखों असली टॉस गिनकर इसे जाँचा और 50.8% पाया, जो मॉडल के काफ़ी क़रीब है।

क्या head ज़्यादा आता है? नहीं

नहीं, head tail से ज़्यादा नहीं आता। 350,757 टॉस वाले अध्ययन में head और tail कुल मिलाकर 50.0% पर बराबर रहे। कई लोग सोचते हैं कि head वाली तरफ़ का चित्र या उभार उसे भारी बना देता है, पर उछालकर पकड़े गए सिक्के में ऐसे फ़र्क़ का असर नहीं दिखता। जो छोटा असर मिला, वह head या tail का नहीं, शुरुआती तरफ़ का है। अगर आप हर बार head ऊपर रखकर उछालें, तो head थोड़ा ज़्यादा आएगा, और tail ऊपर रखें तो tail। अलग अलग शुरुआत वाले टॉस मिलाकर गिनें, तो head और tail बराबर ही निकलते हैं।

क्या सिक्के का वज़न बदलकर नतीजा बदला जा सकता है? (Gelman & Nolan 2002)

नहीं, उछालकर हवा में पकड़े गए सिक्के का वज़न बदलकर नतीजा ख़ास नहीं बदला जा सकता। सांख्यिकीविद Andrew Gelman और Deborah Nolan ने 2002 में The American Statistician 56(4) में यही दिखाया। हवा में सिक्का अपने भार केंद्र के चारों ओर घूमता है, इसलिए एक तरफ़ भारी कर देने से भी वह उस तरफ़ नहीं झुकता। अगर कोई दोस्त दावा करे कि उसके पास "head वाला सिक्का" है, तो उछालकर पकड़ने पर वह आम सिक्के जैसा ही बर्ताव करेगा। हाँ, मेज़ पर घुमाने से कहानी बदल जाती है, जिसकी बात अगले हिस्से में है।

घुमाना बनाम उछालना

मेज़ पर सिक्का घुमाना उछालने से कहीं ज़्यादा पक्षपाती हो सकता है। घूमता सिक्का धीमा होते समय अपने किनारे और वज़न के बँटवारे के हिसाब से एक तरफ़ ढलने लगता है, इसलिए कुछ सिक्के बार बार एक ही तरफ़ गिरते हैं। Gelman और Nolan ने भी यही लिखा कि घुमाने में पक्षपात आ सकता है, जबकि हवा में उछालकर पकड़ने पर वज़न का असर लगभग नहीं बचता। उछालने में बचा हुआ इकलौता छोटा असर शुरुआती तरफ़ वाला 50.8% है। तो अगर फ़ैसला निष्पक्ष चाहिए, सिक्का अंगूठे से हवा में उछालिए, मेज़ पर घुमाइए नहीं।

डिजिटल टॉस

डिजिटल टॉस में न डगमगाहट होती है, न वज़न, न शुरुआती तरफ़, इसलिए उसमें 50.8% वाला झुकाव भी नहीं होता। FlipACoin में हर नतीजा सर्वर पर बनता है। टॉस से पहले उसका hash दिखाया जाता है और बाद में seed खोला जाता है, ताकि आप Verify पेज पर जाँच सकें कि नतीजा बीच में बदला नहीं गया। असली सिक्के पर भरोसा भौतिकी से आता है, और डिजिटल सिक्के पर भरोसा इसी जाँच से। जब दोस्त अलग अलग शहरों में हों, तब भी सबको एक ही नतीजा दिखता है और किसी को कैमरे के सामने सिक्का उछालना नहीं पड़ता।

अध्ययनों के नतीजे