コイントスの確率は本当に50%？

結論：表と裏は50%ずつ

公正なコインのコイントスでは、表と裏が出る確率はそれぞれ50%です。2023年に35万757回の手投げを動画に記録して調べた研究でも、表が出た割合は全体で50.0%で、表裏の差は見つかりませんでした。ただし「投げる前に上だった面」がそのまま出る割合はわずかに高く、50.8%でした。偏りは表か裏かではなく、投げ始めの向きから生まれます。最初の面を誰にも見せなければ、五分五分と考えてかまいません。

同じ面が出やすい：50.8%（Bartošら 2023）

手で投げたコインは、投げる前に上を向いていた面が50.8%の割合で出ます。Bartošらの研究チームは2023年、35万757回の実際のコイントスを動画で記録して集計しました（arXiv:2310.04153）。95%信頼区間は50.6%から50.9%で、偶然だけでは説明しにくい差です。一方、表と裏そのものの割合は50.0%で、差はありませんでした。1回ごとに見ればごく小さな差なので、日常のコイントスで気づくことはまずありません。

なぜ51%？コインの首振り（Diaconisら 2007）

「コイントスの確率は51%」と言われるのは、2007年にディアコニス、ホームズ、モンゴメリーが物理モデルでそう予測したからです。論文は「SIAM Review」誌に掲載されました。空中で回るコインは真っすぐ回転するのではなく、こまのように軸がわずかに首を振ります。この揺れで最初に上だった面が上を向いている時間が少し長くなり、受け止めたコインは約51%で同じ面になると計算されました。これは測定ではなく予測で、2023年の実験が50.8%という数字で確かめました。

表と裏、出やすいのは？

表と裏のどちらかが出やすいということはありません。35万757回の手投げを調べた2023年の実験では、表の割合は50.0%で、表裏の差は確認されませんでした。結果に影響したのは「どちらの面か」ではなく「投げる前にどちらが上だったか」です。表を上にして投げ続ければ表がわずかに多くなり、裏を上にすれば裏が多くなります。誰も最初の面を見ていなければ、表か裏かは五分五分です。

重りを入れたコインは偏る？（Gelman & Nolan 2002）

空中に投げて手で受け止めるコイントスなら、片側に重りを入れても結果はほとんど偏りません。統計学者のゲルマンとノーランは2002年、「The American Statistician」誌で、投げて受け止めるコインを意味のある形で偏らせることはできないと説明しました。コインは空中で重心のまわりを回るだけなので、重さの偏りでは表裏が決まらないからです。ただしテーブルの上で回す場合は話が別で、形や重さの差が結果に出やすくなります。

回すのと投げるのは違う

テーブルの上でコインをこまのように回す方法は、空中に投げるコイントスよりずっと偏りやすい方法です。回転が弱まって倒れるとき、縁の形や重さのわずかな差が、どちらの面が上になるかに大きく影響します。英語版ウィキペディアの「Coin flipping」でも、回す方法は偏りが出やすいと紹介されています。公平に決めたいなら、親指で弾いて空中で何回も回転させ、手で受け止めるか平らな面に落としましょう。

デジタルのコイントスに偏りがない理由

オンラインのコイントスには、指の力や最初の面、コインの形といった物理的な偏りがそもそもありません。FlipACoinでは毎回の結果をサーバーが決め、投げる前にHMAC SHA256のハッシュ値を公開し、投げたあとにシードを明かします。「検証」ページで照らし合わせれば、結果があとから変えられていないことを誰でも確認できます。世界同時ラウンドでは公開乱数ビーコンのdrandも混ぜています。公平で、しかも自分で検証できるコイントスです。

研究でわかったこと