โยนเหรียญ หัวหรือก้อย 50% จริงไหม?

คำตอบสั้น: หัวก้อย 50/50

คำตอบสั้นคือ เหรียญที่เที่ยงตรงมีโอกาสออกหัว 50% และก้อย 50% และการโยนแต่ละครั้งเป็นอิสระต่อกัน เหรียญไม่มีความจำ ผลครั้งก่อนจึงไม่เปลี่ยนโอกาสของครั้งถัดไป ข้อยกเว้นเล็ก ๆ มีอยู่ข้อเดียวเมื่อโยนด้วยมือ คือเหรียญมักออกด้านที่หงายอยู่ก่อนโยนบ่อยกว่าเล็กน้อย ราว 50.8% ต่างจาก 50% ไม่ถึง 1 จุดเปอร์เซ็นต์ ในชีวิตจริงแทบไม่รู้สึก และไม่ได้แปลว่าหัวออกบ่อยกว่าก้อย

ผลด้านเดิม 50.8% (Bartoš และคณะ 2023)

งานวิจัยของ Bartoš และคณะในปี 2023 บันทึกวิดีโอการโยนเหรียญด้วยมือจริง 350,757 ครั้ง และพบว่าเหรียญออกด้านเดิมที่หงายอยู่ก่อนโยน 50.8% (ช่วงความเชื่อมั่น 95% อยู่ที่ 50.6 ถึง 50.9%) แต่เมื่อนับหัวกับก้อยโดยรวม ได้หัว 50.0% ไม่ต่างกันเลย แปลว่าสิ่งที่มีผลไม่ใช่ว่าเป็นหัวหรือก้อย แต่เป็นด้านที่หงายตอนเริ่มโยน งานนี้เผยแพร่บน arXiv (2310.04153) ให้ทุกคนอ่านได้

ทำไมเป็นแบบนั้น: การส่ายของเหรียญ (Diaconis และคณะ 2007)

สาเหตุคือเหรียญไม่ได้พลิกตีลังกาตรง ๆ แต่ส่ายไปด้วยขณะลอยอยู่กลางอากาศ ในปี 2007 Diaconis, Holmes และ Montgomery สร้างแบบจำลองทางฟิสิกส์ของการส่ายนี้ และทำนายว่าเหรียญที่โยนด้วยมือจะออกด้านเดิมราว 51% (SIAM Review ฉบับ 49(2)) ตอนนั้นเป็นเพียงการทำนายจากแบบจำลอง ยังไม่ได้วัดจริง จนปี 2023 ทีมของ Bartoš โยนจริงหลายแสนครั้งแล้ววัดได้ 50.8% ใกล้เคียงกับที่ทำนายไว้มาก

หัวออกบ่อยกว่าไหม?

ไม่ หัวไม่ได้ออกบ่อยกว่าก้อย ในการโยนด้วยมือจริง 350,757 ครั้ง สัดส่วนหัวโดยรวมอยู่ที่ 50.0% สิ่งที่มีผลเล็กน้อยคือด้านที่หงายอยู่ก่อนโยน ไม่ใช่ว่าด้านนั้นเป็นหัวหรือก้อย ดังนั้นจะทายหัวหรือทายก้อยก็มีโอกาสเท่ากัน ถ้าอยากตัดข้อได้เปรียบเล็ก ๆ นี้ออก ให้ซ่อนด้านเริ่มต้นไว้ไม่ให้ใครเห็นก่อนโยน แค่นี้ทั้งสองฝ่ายก็อยู่ในเงื่อนไขเดียวกัน

ถ่วงน้ำหนักเหรียญได้ไหม? (Gelman & Nolan 2002)

ถ้าโยนขึ้นแล้วรับไว้กลางอากาศ การถ่วงน้ำหนักเหรียญแทบไม่ช่วยให้ออกด้านใดด้านหนึ่งมากขึ้นอย่างมีนัยสำคัญ Gelman และ Nolan อธิบายไว้ในวารสาร The American Statistician ปี 2002 (ฉบับ 56(4)) ว่าเหรียญที่พลิกอยู่กลางอากาศแทบไม่ได้รับผลจากน้ำหนักที่เอียงไปข้างหนึ่ง แต่ถ้าเอาเหรียญไปหมุนบนโต๊ะ น้ำหนักที่ไม่เท่ากันอาจทำให้ลำเอียงได้ชัด ถ้ากลัวเหรียญถูกแต่ง ให้โยนแล้วรับ อย่าหมุน

หมุนกับโยนไม่เหมือนกัน

การหมุนเหรียญบนโต๊ะกับการโยนเหรียญขึ้นกลางอากาศเป็นคนละเรื่องกัน และการหมุนมีโอกาสลำเอียงมากกว่ามาก เหรียญที่โยนจะพลิกตีลังกาหลายรอบก่อนตก แต่เหรียญที่หมุนจะหมุนอยู่บนขอบแล้วค่อย ๆ ล้มลง ความต่างเล็ก ๆ ของน้ำหนักทั้งสองด้านจึงมีผลต่อการล้มได้มาก Gelman และ Nolan ก็ชี้ว่าเหรียญที่ถ่วงน้ำหนักจะลำเอียงชัดเมื่อหมุน ถ้าจะตัดสินเรื่องอะไรกับเพื่อน ให้ดีดด้วยนิ้วโป้งแล้วรับ อย่าหมุนบนโต๊ะ

ทำไมเหรียญดิจิทัลไม่ลำเอียง

เหรียญดิจิทัลไม่มีแรงมือ ไม่มีด้านเริ่มต้น และไม่มีน้ำหนักเหรียญ ผลด้านเดิม 50.8% แบบที่เกิดกับการโยนด้วยมือจึงไม่เกิดขึ้น ใน FlipACoin ผลทุกครั้งสร้างบนเซิร์ฟเวอร์ ระบบแสดงค่าแฮช HMAC SHA256 ก่อนโยนและเปิดเผย seed หลังโยน ใครก็ตรวจได้ในหน้าตรวจสอบว่าผลไม่ถูกแก้ภายหลัง รอบโยนทั่วโลกยังผสมค่าสุ่มสาธารณะจาก drand ด้วย จุดสำคัญคือคุณไม่ต้องเชื่อเรา แค่เปิดดูเองก็รู้ว่ายุติธรรม

งานวิจัยพบอะไรบ้าง